7535

51

пендикулярны отрезку АВ (рис. 2.15 д,е).МЦС в этом случае располагается в бесконечности. Скорости всех точек тела одинаковы.

P

если отсутствует проскальзывание между телами (рис. 2.16). МЦС находится в точке соприкосновения тела с поверхностью.

Рис. 2.16

2.3.9 Теорема о сложении ускорений

Ускорение точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения по-

Рис. 2.17

Ускорение 4a` определяется по правилам вращательного движения, то

есть равно сумме вращательного и центростремительного ускорений:

4a` 4a`/ ( 4a`.

Тогда полное ускорение точки М будет равно:

4a 4` ( 4a`/ ( 4a`.

52

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА

3.1 Предмет и задачи динамики

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение механических систем под действием сил.

Динамика является синтезом двух предыдущих разделов теоретической механики:

∙статики, которая изучает преобразования систем сил и условия их равновесия, и

∙кинематики, которая изучает способы математического описания движения тел.

Основной закон динамики

Фундаментальное значение имеет второй закон Ньютона, который называют основным законом динамики:

Сила, действующая на свободную материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально этой силе:

R = m a F

В уравнение входит величина m, которая называется массой материальной точки. Она является мерой инертности точки: чем больше масса, тем меньшее ускорение сообщает точке приложенная сила

Масса измеряется в килограммах (кг), и, следовательно, единица силы

(ньютон) будет равна 1 Н = 1 кг× м .

с2

Примечания:

∙Если на точку действует несколько сил, то под R в уравнении следует

F

понимать их равнодействующую:

ветствующие реакции.

3.2 Динамика материальной точки

Задачи, решаемые методами динамики, условно можно разделить на две группы:

53

∙Первая задача динамики (прямая) предполагает, что закон движения механической системы известен, а силы которые вызывают это движение необходимо найти.

∙Вторая задача динамики (обратная) предполагает, что известны силы, действующие на механическую систему, а найти необходимо закон движения.

3.2.1 Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Пусть материальная точка движется в инерциальной системе отсчета. Если движение задано в векторной форме, то

Спроектировав векторное равенство на оси, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной (аналитической) форме:

.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественных осях могут быть получены с помощью формул кинематики, после чего они приобретают следующий вид:

3.2.2 Первая задача динамики

Если закон движения задан в векторной форме, выражение для вектора силы могут быть найдены путем дифференцирования радиус-вектора.

Если закон движения задан в аналитической форме, проекции силы на декартовые оси могут быть найдены путем дифференцирования координат.

55

∙когда сила зависит от скорости F = F (v),

∙когда сила зависит от координаты F = F (x).

Частный случай 1: сила зависит от времени: m dv = F (t ).

dt

Умножив обе части уравнения на dt , разделим переменные t и v : m dv = F (t )dt

При интегрировании уравнения можно пользоваться определенными или неопределенными интегралами.

Интегрируем левую и правую части.

m ∫dv = ∫F (t )dt , откуда mv = ∫F (t )dt +C1 ,

где C1 определяется из начального условия.

Частный случай 2: сила зависит от скорости: m dv = F (v).

Постоянная C1 определяется из начального условия.

Если требуется получить не только выражение скорости v(t ), но и выра-

жение для координаты точки x(t ), то процесс интегрирования надо повторить.

56

3.3Динамика материального тела

3.3.1Классификация сил. Основные теоремы динамики

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек. Положение k-й

R

точки определяется радиус-вектором rk . Точка имеет массу mk и движется со

R R

скоростью vk и с ускорением ak .

Силы, действующие на материальную точку можно разбить на две группы. Сделать это можно разными способами.

Первый способ

Разделим силы, действующие на k-ю точку, на внешние и внутренние. Получим следующую запись основного уравнения динамики:

стемы.

Второй способ

Разделим силы, действующие на k-ю точку, на активные силы и реакции связей. Получим следующую запись:

Первый способ записи основного уравнения используется при решении задач динамики с помощью основных теорем динамики, которые включают в себя:

∙теорему о движении центра масс, ∙теорему об изменении количества движения,

∙теорему об изменении кинетического момента, ∙теоремы об изменении кинетической энергии.

57

3.3.2 Теорема о движении центра масс

Центр масс механической системы

Массой механической системы называется сумма масс ее точек:

Проектируя последнее равенство на оси, получим формулы для координат центра масс, которые аналогичны формулам для определения координат центра тяжести:

Центр масс более общее понятие, чем центр тяжести, поскольку сохраняет смысл даже при отсутствии сил тяжести.

Дифференцированием получим выражение для скорости центра масс

и выражение для ускорения центра масс системы:

Теорема о движении центра масс механической системы

Произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору внешних сил, действующих на точки системы:

То есть, центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все

58

внешние силы, действующие на систему. При этом внутренние силы не могут изменить движение центра масс.

Сохранение движения центра масс

Следствие 1

Если главный вектор внешних сил механической системы все время равен

Следствие 2

Если сумма проекций всех внешних сил на какую-либо ось все время равна

n

нулю ∑Fkxe = 0 , то проекция скорости центра масс на эту ось постояннаvCx = const

k =1

( &&xC = 0 ). Центр масс движется по оси х равномерно или покоится.

3.3.3 Теорема об изменении количества движения

Количеством движения материальной точки называется векторная вели-

k =1

Количество движения характеризует только поступательную часть движения и никакого отношения не имеет к его вращательной составляющей.

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме

Производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему:

dQ = ∑n R e Fk

dt k =1

или в проекциях на оси:

dQ n

y = ∑Fkye

dt k =1

59

Теорема об изменении количества движения системы может применяться для систем, имеющих переменную массу, в то время как теорема о движении центра масс системы справедлива только для систем с постоянной массой.

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме Импульсом силы за некоторый промежуток времени (0,t ) называется ве-

личина равная интегралу от силы по времени

Размерность импульса силы [S ]= Н × с = кг × м совпадает с размерностью ко-

с

личества движения.

Теорема:

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внеш-

Для одной материальной точки теорема приобретает вид: = W = i,

где i - импульс равнодействующей всех сил, приложенных к точке. Отсюда видно, что импульс является характеристикой силы, показываю-

щей насколько эта сила изменяет количество движения материальной точки или механической системы. Внутренние силы не могут изменить количество движения механической системы.

Сохранение количества движения

Следствие 1

Если главный вектор внешних сил механической системы все время равен