7535

40

окресностях рассматриваемой точки. Радиус этой9 1окружности⁄; назовем радиусом кривизны траектории в данной точке: .

Радиус кривизны измеряется в метрах.

Обратная величина называется кривизной данной кривой в точке М:

8<=> → |>@-|=k.

Примеры:

1)Окружность является кривой постоянной кривизны. Во всех точках окружности радиус ее кривизны равен радиусу окружности.

2)Прямая линия является линией постоянной кривизны. Во всех ее точках радиус кривизны равен бесконечности, а кривизна равна нулю.

3)У таких линий, как эллипс или парабола, радиус кривизны в разных точках имеет разное значение.

Естественные оси

Рассмотрим точку М, которая двигается по произвольной траектории. Проведем через точку М касательную к траектории. Перпендикулярно к касательной проведем ось, которая называется нормаль (рис. 2.6). Касательная и нормаль вместе образуют естественные оси.

Естественные оси являются подвижными, они перемещаются по траектории. С естественными осями связаны единичные векторы (орты):

τ – единичный вектор касательной; n – единичный вектор нормали.

Единичный вектор касательной всегда направлен в положительныю сторону дуговой координаты, а единичный вектор нормали всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

2.2.5 Определение ускорения при естественной форме задания движения

Можно показать4 , 4что(ускорение4 4 . (равно4 * векторной сумме:

/ / .

41

2.2.6 Классификация форм движения точки

Прямолинейное движение и криволинейное движение

Траекторией точки при криволинейном движении является кривая, и ее кривизна имеет конечное значение, а радиус кривизны не равен нулю.

Траекторией при прямолинейном движении является9 ∞ прямая линия. Радиус кривизны прямой линии4 бесконечен0 . Нормальное ускоре-

ние в этом случае равно нулю . Следовательно, при прямолинейном движении полное ускорение совпадает с касательным: 4 4/ и 4 B5B.

В этом случае скорость всегда направлена по одной линии − траектории, откуда вытекает вывод о физическом смысле касательного ускорения: каса-

тельное ускорение характеризует изменение модуля скорости.

Равномерное движение и неравномерное движение

ском смысле нормального ускорения: нормальное ускорение характеризует

42

Равномерное прямолинейное движение

В4этом4случае4 равны0 нулю и касательное, и нормальное, и полное ускоре- ния: а скорость/ точки как, вектор будет постоянна: +,* .

Ускоренное движение и замедленное движение

Ускоряется или замедляется движение точки можно определить по взаимному расположению векторов скорости и касательного ускорения. Если оба вектора направлены в одну сторону, то движение является ускоренным, а если в разные, − то замедленным.

При ускоренном движении произведение проекций4 1 0 этих векторов на касательную к траектории4 3будет0 положительным ( / / ), а при замедленном – отрицательным ( / / ).

Равнопеременное движение Равнопеременным называется движение точки, при котором модуль каса-

для скорости и дуговой координаты, то есть уравнения равнопеременного движения:

2.3 Движение твердого тела

Уравнения движения твердого тела должны позволять в любой момент времени определить положение и кинематические характеристики любой его точки.

Простейшими видами движения твердого тела являются поступательное и вращательное движения.

43

2.3.1 Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением называется движение, при котором любой отрезок принадлежащий телу перемещается, оставаясь параллельным своему первоначальному направлению.

Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают совпадающие при наложении, траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения.

Рис. 2.7

Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением какой-либо его точки, например центра тяжести. В этом случае имеют смысл выражения «скорость тела» или «ускорение тела». При других формах движения каждая точка тела имеет свою скорость и свое ускорение.

2.3.2 Вращательное движение твердого тела

Движение тела, при котором все точки тела, лежащие на некоторой прямой, остаются неподвижными, называется вращательным движением. При этом сама прямая называется осью вращения.

Точки, не лежащие на оси, при движении описывают окружности в плоскостях, которые перпендикулярны к оси вращения.

45

Его размерность L! рад сN .

с6

Знаки углового ускорения и угловой скорости позволяют установить является вращениеL ∙ Rзамедленным1 0 или ускоренным.

При M M L ∙вращениеR 3 0 является ускоренным (направления векторов совпадают), а при M M – замедленным (направления противоположны).

Угловая скорость и угловое ускорение характеризуют вращение тела, как целого. Скорости и ускорения отдельных точек тела при этом будут отличаться.

2.3.3 Равномерное и равнопеременное вращение

Равномерным называется такое вращение тела, при котором угловая ско-

46

сунке 2.9 траекторию точки М.

За начало отсчета дуговой координаты s примем точку О, которая лежит в неподвижной полуплоскости П. Подвижную полуплоскость П1 проведем через точку М. Положительное направление отсчета дуговой координаты s пусть будет направлено против часовой стрелки.

Рис. 2.9

соответствующихL скоростей получим:

Модули скоростей точек пропорциональны их расстояниям до оси вращения, а коэффициентом пропорциональности является модуль угловой скорости.

47

Откуда 4 L R.

2.3.6Преобразование простейших форм движения тела

Вдвижущихся элементах машин виды движения часто преобразуются. Происходит:

∙преобразование одного вращательного движения в другое, а также ∙преобразование вращательного движения в поступательное (и наоборот). Преобразования эти происходят с помощью ∙зубчатых или фрикционных передач (рис. 2.11 а, в)

∙ременных или цепных передач (рис. 2.11 б)

2.3.7 Плоскопараллельное движение твердого тела

Задание плоского движения

49

Направление и модуль вектора a` a` определяется по правилам, принятым для вращательного движения:

∙ скорость перпендикулярна отрезку МС и направлена в сторону враще-

ния, ∙модуль скорости вычисляется по формуле Эйлера: a` L a`.

Рис. 2.13

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка Р плоской0. фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю: b

Такая точка всегда существует. Положение МЦС на движущейся фигуре не является неизменным, в процессе движения его положение постоянно меняется; МЦС может находиться вне тела. Если угловая скорость тела в данный момент равна нулю, то МЦС располагается в бесконечности. В этом случае скорости всех точек тела одинаковы. Движение тела в данный момент времени называют мгновенно поступательным, в отличие от поступательного движения,