7535

20

модулю (рис. 1.20 б). Для определенности пусть F1 > F2 .

В обоих случаях величину реакции и положение линии ее действия можно найти с помощью следующей теоремы:

Равнодействующая двух параллельных сил равна их главному вектору. Линия ее действия расположена в плоскости сил, и проходит параллельно линиям действия сил на расстояниях от них, которые обратно пропорциональны

В первом случае модуль равнодействующей равен R = F1 + F2 , а во втором случае R = F1 − F2 , причем равнодействующая направлена в сторону большей си-

лы. Линия действия равнодействующей проходит через точку С, которая в первом случае расположена в пределах отрезка АВ, а во втором случае, − за его пределами со стороны большей силы.

Отрезки, определяющие положение точки С, в обоих случаях определяют-

Следствие из теоремы:

1)Любую силу можно разложить на две параллельные силы, направленные

водну или в разные стороны. Это можно сделать бесконечным количеством

способов.

R R

2) Легко заметить, что модули моментов сил F1 и F2 относительно точки С

21

3) Если система параллельных сил состоит более чем из двух сил, то, последовательно попарно суммируя эти силы, можно найти ее равнодействующую (при условии, что она существует).

1.5.2 Пара сил, момент пары

Парой сил (или просто парой) называется система из двух равных по модулю, противоположно направленных параллельных сил.

Система сил, образующих пару, не является уравновешенной. Пара сил не имеет равнодействующей, и по этой причине ее нельзя уравновесить одной силой.

Пара есть особая мера механического взаимодействия.

Сила и пара сил представляют собой два базовых неупрощаемых элемента статики.

R ( R R ′)

m F , F

R

F ′

A

B

R

F

h

Рис. 1.21

пендикулярно плоскости действия пары в соответствии с правилом «правого

винта» (рис. 6.3), и равный по модулю произведению модуля силы на плечо

пары: ( R R¢)= × = ¢× . m F, F F h F h

Размерность модуля момента пары [m] = Нм.

22

Теорема:

Сумма моментов сил, составляющих пару, одинакова относительно любой точки пространства и всегда равна моменту пары.

Следствие:

Момент пары сил равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары.

1.5.3 Теорема об условиях эквивалентности пар

Теорема:

Две пары, имеющие векторно-равные моменты, эквивалентны друг другу. Согласно этой теореме можно сделать любыми величины модулей сил и плеча пары, сохраняя их произведение, т. е. модуль момента пары; пару можно переносить в любое другое положение в плоскости ее действия и поворачивать ее на произвольный угол; пару можно переносить на параллельную плоскость

действия.

1.5.4 Главный вектор и главный момент системы пар

i=1

Поскольку силы пары равны и противоположно направлены, то векторная сумма сил пары будет равна нулю, поскольку Fi = −Fi′. По этой причине резуль-

23

R mn

Рис. 1.22

Таким образом, мы убедились, что справедлива

Теорема о сложении пар:

Система пар сил эквивалентна одной результирующей паре, момент которой равен векторной сумме моментов этих пар.

Следствие:

∙Моменты двух пар складываются аналогично тому, как складываются силы: по правилу параллелограмма или с помощью треугольника моментов.

∙Для нескольких пар сложение выполняется по правилу многоугольника моментов, которое аналогично правилу силового многоугольника. Результирующая пара будет замыкающей стороной многоугольника моментов.

∙Поскольку моменты пар не зависят от выбора точки приведения, то и главный момент, как их сумма, в данном случае от выбора центра не зависит.

1.5.5 Условие уравновешенности системы пар

Пара сил не является уравновешенной системой сил. Поэтому для уравновешенности системы пар требуется, чтобы момент результирующей пары был равен нулю. То есть, для того чтобы система пар была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) В векторной форме векторная сумма моментов всех пар должна быть

n

равна нулю: ∑ R = mi 0

i=1

2)В геометрической форме многоугольник моментов пар должен быть за-

мкнут.

3)В аналитической форме сумма проекций моментов пар на каждую из координатных осей должна быть равна нулю:

24

1.5.6 Моменты пар, расположенных в одной плоскости

Если пары расположены в одной плоскости (рис. 1.23), то их вектормоменты направлены перпендикулярно к этой плоскости. В этом случае моменты пар отличаются только модулем и знаком проекции на ось z, перпендикулярную к плоскости действия пар, и могут рассматриваться как скалярные величины.

Проекции эти положительны, если при взгляде на плоскость со стороны положительного направления оси, мы видим пары действующими против часовой стрелки (рис. 1.24).

Для плоской системы сил введем понятие алгебраического момента пары: алгебраическим моментом пары называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение одной из сил пары на плечо пары:

mi = m (Fi , Fi′) = ±Fd .

При решении плоских задач пара изображается скобкой, стрелка которой указывает направление вращения пары, поскольку направление сил пары, ее плечо и место расположения не существенны, − они могут меняться произвольно, если при этом не меняется момент пары.

25

Рис. 1.24

Сложение пар сил, лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях, является частным случаем сложения пар: в этом случае векторное сложение можно заменить алгебраическим сложением:

M = m1 + m2 + m3 = F1h1 + F2h2 − F3h3

m1 m3

M

m2

Рис.1.25

Если пары лежат в одной плоскости, то путем суммирования их можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой назовем результирующим алгебраическим моментом системы пар. Результирующий алгебраический момент системы пар, расположенных в одной плоскости, равен сумме алгебраи-

n

ческих моментов составляющих пар: MO = ∑mi .

i=1

Система пар находится в равновесии только в том случае, когда результирующий момент равен нулю. Таким образом, для равновесия пар сил, действующих на твердое тело в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы

n

сумма алгебраических моментов этих пар была равна нулю, то есть ∑mi = 0.

i=1

26

1.6 Произвольная пространственная система сил

Самый общий случай представляет собой система, состоящую из любого количества сил, как угодно расположенных в пространстве – произвольная пространственная система сил.

1.6.1 Лемма Пуансо о параллельном переносе силы

Силу F можно переносить на параллельную линию действия, добавляя при этом присоединенную пару, момент которой равен моменту силы относительно новой точки приложения силы.

Пусть дана сила F , приложенная в точке A (рис. 1.26 а).

Приложим к точке B две силы: F ′ и F ′′ , равные по величине и противо-

положно направленные ( F ′′ = − F ′ ), что допускается в соответствии с аксиомой

лельны ей.

R ( R ) Π

MO F

R

F′′

Рис. 1.26

27

Операция переноса силы в заданную точку называется приведением силы к заданному центру. Приведение любой системы произвольно расположенных в пространстве сил происходит путем применения Леммы Пуансо необходимого колличества раз.

Основная теорема статики (теорема Пуансо)

Любая система сил при приведении к произвольному центру заменяется одной силой и одной парой. При этом сила равна главному вектору системы сил и приложена в центре приведения, а пара имеет момент, равный главному моменту системы сил относительно центра приведения.

Следствие:

две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и одинаковые главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны друг другу.

Теорема Вариньона:

Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно любой точки или оси равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки или оси.

Эта теорема часто используется на практике для вычисления момента некоторой силы в том случае, когда сложно найти плечо самой силы, но легко определить плечи ее составляющих.

1.6.2 Условия уравновешенности произвольной пространственной системы сил

Система сил в общем случае заменяется одной силой и одной парой, но сила и пара не могут уравновесить друг друга.Следовательно, для уравновешенности системы сил требуется, чтобы и сила, и момент пары были нулевыми.

Отсюда получаются условия уравновешенности произвольной пространственной системы сил в трех формах:

1) В векторной форме главный вектор системы сил и главный момент системы сил относительно некоторой точки должны быть равны нулю:

2) В геометрической форме силовой многоугольник и многоугольник моментов должны быть замкнуты.