7535

31

1.8 Приведение систем сил к простейшему виду

Согласно основной теореме статики, любая система сил заменяется одной силой (равной главному вектору системы сил R и приложенной в центре приведения О) и/или одной парой (с моментом, равным главному моменту системы сил относительно центра приведения M O ).

Однако в ряде случаев и эту систему сил можно упростить. Рассмотрим эти случаи.

1) Если R = 0 и M O = 0 , то система сил уравновешена (эквивалентна нулю). 2) Если R = 0 и M O ¹ 0 , то система сил эквивалентна одной паре сил.

3) Если R ¹ 0 и M O = 0 , то система сил эквивалентна одной силе, т. е. име-

ет равнодействующую, которая проходит через центр приведения О.

4) Если R ¹ 0 и M O ¹ 0 (имеются и сила и пара), то дальнейшее упрощение системы зависит от взаимного расположения векторов R ¹ 0 и M O ¹ 0 .

В случае, если пара сил действует в плоскости, перпендикулярной силе R , система сил не может быть более упрощена. Такая система сил называется динамическим винтом, силовым винтом или динамой.

1.9Центр тяжести

1.9.1Центр параллельных сил

F1, F2 ,..., Fn , приложенных к твердому телу в точках O1 , O2 ,..., On . (рис. 1.29) Эта си-

стема сил имеет равнодействующую которая имеет то же направление, что и

32

Имеется такая точка C , через которую линия действия равнодействующей пройдет при любом направлении сил системы.

Согласно теореме Вариньона, момент равнодействующей системы сил относительно любой точки равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

В рассматриваемом случае, например,

R

координат (точки O ), rC — радиус-вектор точки С.

O

y

x

Рис.1.29

Выразим в последнем равенстве все векторы сил через единичный вектор, тогда оно примет вид:

Точка С, через которую линия действия равнодействующей пройдет при любом повороте системы параллельных сил, называется центром параллельных сил. Формула определяет положение центра параллельных сил через его ради- ус-вектор.

33

Координаты центра параллельных сил можно получить, если спроектировать равенство на координатные оси:

R

∑n z F

i i

Формулы справедливы и для случая параллельных сил, направленных в разные стороны, если в них полагать величины Fi для сил одно го направления со знаком «плюс», а для сил другого направления со знаком «минус». При этом, конечно, сумма сил не должна быть равна нулю.

1.9.2 Центр тяжести

Силы притяжения отдельных частиц тела к Земле направлены к центру Земли. Поскольку размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, эти силы можно считать параллельными. Равнодействующая этих параллельных сил – это сила тяжести (ее модуль – это вес тела), а центр этой системы параллельных сил (в котором всегда приложена сила тяжести) называется центром тяжести тела.

Если обозначить модули сил тяжести отдельных частей тела и

34

Если тело однородное, т. е. все его части имеют один и тот же удельный

Тогда уравнения преобразуются в уравнения для координат центра тяжести объема:

V

∑n z V

i i

Центр тяжести однородной тонкой пластины постоянной толщины (оболочки) — может быть вычислен аналогично через площади отдельных ее ча-

n

стей Ai и общую площадь A = ∑ Ai :

i =1

A

∑n z A

i i

Центр тяжести однородного пространственного ломаного стержня, состоящего из ряда прямолинейных участков, определяется через длины его участ-

n

ков Li и общую длину L = ∑Li :

i=1

35

L

∑n z L

i i

36

ГЛАВА 2. КИНЕМАТИКА

2.1 Движение. Кинематические характеристики

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, то есть с чисто геометрической точки зрения.

Движение рассматривается по отношению к некоторой координатной системе, которую называют системой отсчета.

Время в классической механике считается абсолютным, то есть протекающим одинаково во всех системах отсчета. Все другие переменные величины рассматривают как функции времени. Отсчет времени ведут от некоторого начального момента .

Основной задачей механики является изучение способов задания движения тел. Движение тела считается заданным, если для любого момента времени можно математически указать положение любой точки тела по отношению к данной системе отсчета.

Кинематика рассматривает кинематические характеристики, такие как скорости или ускорения, и устанавливает связи между ними.

Основными разделами кинематики являются: ∙кинематика точки, ∙кинематика твердого тела.

2.2Кинематика точки

2.2.1Способы задания движения точки

Вкинематике используют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный способ задания движения точки

Положение движущейся точки М по отношению к системе отсчета Оxyz можно задать радиус-вектором этой точки , который считается векторной функцией времени:

Это уравнение является уравнением движения точки в векторной форме.

37

Рис. 2.1

Координатный способ задания движения точки

Положение точки можно определить, если задать ее координаты в виде

функций времени. В декартовых, координатах это будут функции:

,.

Чтобы получить уравнение траектории в явной форме надо из этих уравнений исключить время. y=f(x)

Естественный способ задания движения точки

Этот способ применяется тогда, когда заранее известна траектория точки.

s

B

Рис. 2.2

Чтобы задать движение некоторой точки М естественным способом, следует указать:

1)траекторию точки (кривая АВ);

2)начальную точку на ней (точка О);

3)положительное и отрицательное направление отсчета,по траектории;

4)уравнение движения точки по траектории: в котором s есть

дуговая координата, то есть длина дуги по траектории между точками О и М, взятая со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того в какой части траектории находится точка. Дуговая координата определяет положение точки, а не пройденный ею путь.

38

2.2.2 Скорость точки

Определение скорости при векторном способе задания движения Скоростью точки называется кинематическая характеристика движения,

равная производной по времени от радиус-вектора этой точки:

Скорость точки – величина векторная, ее направление показывает куда в

Подведем итог:

1) Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону