6848
.pdf60
ГЛАВА 3. ДИНАМИКА
3.1 Динамика материальной точки
Задачи, решаемые методами динамики, условно можно разделить на две группы: Первая задача динамики (прямая) предполагает, что закон движения механической системы известен, а силы которые вызывают это движение необходимо найти. Если закон движения задан в векторной форме, выражение для вектора силы мо-
|
2 R |
R |
|
|
d r |
||
гут быть найдены путем дифференцирования радиус-вектора по формуле: m |
= F , |
||
dt 2 |
|||
|
|
Если закон движения задан в аналитической форме, проекции силы на декартовые оси могут быть найдены путем дифференцирования координат по формулам:
mx&& = Fx
my&& = F
ymz&& = Fz
Если закон движения задан в естественной форме, проекции силы на естественные оси могут быть найдены путем дифференцирования по формулам:
m |
dvτ |
= F |
|||
|
|
||||
|
dt |
τ |
|||
|
|
||||
|
v2 |
= Fn |
|||
m |
|
|
|||
ρ |
|||||
|
|
||||
|
0 = F |
||||
|
|
|
b |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
Вторая задача динамики (обратная) предполагает, что известны силы, действующие на механическую систему, а найти необходимо закон движения. Ее решение сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения материальной точки в векторной, координатной или естественной форме.
Задача 3.1. Первая задача динамики
Найти силу, под действием которой точка с массой m движется по закону: x = acos(ωt), y = bsin (ωt).
Решение.
Дифференцируя уравнения закона движения, получим:
&x& = −aω2 cosωt, &y& = −bω2 sin ωt.
61
Подставляя в дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме найдем:
Fx = m&x& = −mω2 x,
Fy = m&y& = −mω2 y,
F = |F| = 
Fx2 + Fy2 = mω2r.
Ответ: F = mω2r.
Задача 3.2. Первая задача динамики
Точка массы m кг движется прямолинейно по закону S = πt 2 ( S - в метрах, t - в секундах). Найти силу, под действием которой движется точка.
Решение Находим проекции искомой силы на естественные оси.
2
Pτ = m d S2 = m2π dt
2
Pn = m Vρ = 0 (радиус кривизны прямой ρ = ∞ )
Рb = 0
P = 
Pτ2 + Pn2 + Pb2 = 
(2πт)2 + 0 + 0 = 2πm . Ответ: Р=2πт.
Задача 3.3. Вторая задача динамики Материальную точку бросают под углом α к горизонту с начальной скоростью
)§. Найти уравнение движения материальной точки. Сопротивление воздуха и изменение с высотой силы тяжести не учитывать.
62
y
v0
G = mg
O
x
z
Рис. 3.1
Решение:
1.Выберем систему отсчета (рис. 3.1).
2.Запишем дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме:
mx&& = 0
my&& = −mg
mz&& = 0
3. Интегрируя уравнения, получаем:
& |
= C1 |
x |
|
& |
|
y = −gt + C2 |
|
& |
= C3 |
z |
|
4. Интегрируя уравнения еще раз, получаем:
x = C1t + D1 |
|
||||
|
|
|
2 |
2 |
+ C2t + D2 |
y = −gt |
|
||||
z = C |
t + D |
|
|||
|
3 |
|
|
3 |
|
5.Для определения постоянных интегрирования C1, C2 , C3 , D1, D2 , D3 используем начальные условия:
x0 = xx&0 = x&
y0 = yy&0 = y&
z0 = zz&0 = z&
t =0 = 0
t =0 = v0 cosα
t =0= 0
t =0= v0 sin α
t =0 = 0 |
|
|
t =0 |
= 0 |
, откуда получаем: |
|
|
|
D1 = 0
C1 = v0 cosα
D2 = 0
C2 = v0 sin α
D3 = 0C3 = 0
6. Подставляя постоянные интегрирования в уравнения получим:
63
x = (v0 cosα ) t |
|
|
+ (v0 sin α )t |
y = −gt 2 2 |
|
|
|
z = 0 |
- закон движения материальной точки |
|
|
Задача 3.4. Вторая задача динамики
Найти закон движения точки массой m , упруго закрепленной на пружинке с жесткостью c , при начальных условиях: x(0) = a , x&(0) = 0.
y
O
x
F = – cr
Рис. 3.2
Решение:
Движение точки происходит под действием упругой силы пружины, направленной к положению равновесия и равной F = – cr ( рис. 3.2).
Проектируя основное уравнение динамики ma = – cr на ось Ox , вдоль которой происходит движение, и выбирая начало отсчета на конце недеформированной пружины, получим дифференциальное уравнение движения точки:
ma = – cx .
Воспользовавшись второй подстановкой и умножив обе части уравнения на dx , найдем первый интеграл:
v |
|
|
|
|
x |
|
|
||
∫ vdv = −(c / m)∫ xdx |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
или v2/2 = – ( с/m)(x2/2 – x 02/2), откуда |
|
|
v = (с/m)(x02 – x 2). |
||||||
Подставляя v = dx/dt и разделяя переменные, получим: |
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
dx |
|
|
|
|
c |
|
|||
∫ |
|
|
= |
|
|
|
∫ dt , |
||
|
|
|
|
|
m |
||||
x 2 − x 2 |
|
|
|||||||
x =a |
|
|
|
|
0 |
||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
64
|
x |
|
x |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
arc sin |
|
= (c / m) ·t, |
||||
|
|
|||||
x0 |
||||||
|
|
x |
||||
|
|
0 |
|
|
||
arc sin(x/x0) – π/2 = $с/©& ·t,
откуда x = a sin(ωt + π/2) = a cos ωt ,
где a = x0, ω = $с/©&
Ответ: x = a sin(ωt + π/2) = a cos ωt , где a = x0, ω = $с/©&.
3.2 ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору
внешних сил, действующих на точки системы:
|
|
|
n |
|
&& |
e |
|
|
mxC |
= ∑ Fkx |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
n |
или в проекциях на оси |
&& |
e |
|
myC |
= ∑ Fky |
||
|
|
|
k =1 |
|
|
|
n |
|
|
&& |
e |
|
mzC |
= ∑ Fkz |
|
|
|
|
k =1 |
R |
n R |
|
= ∑ Fke |
||
maC |
||
|
k =1 |
Другими словами, центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему. Внутренние силы не могут изменить движение центра масс.
Следствие 1:
Если главный вектор внешних сил механической системы все время равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Следствие 2:
Если сумма проекций всех внешних сил на какую-либо ось все время равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось постоянна.
Задача 3.5. Теорема о движении центра масс На неподвижную однородную призму А, лежащую на горизонтальной плоскости,
положили однородную призму В. Ширина основания призмы А равна a=10 м. Ширина основания призмы В равна b=2 м. Пренебрегая трением, определить смещение
65
призмы А после того, как призма В опустится по призме А. Принять, что масса призмы В втрое меньше массы призмы А.
y
a
b
|
|
B |
|
|
A |
|
|
O |
P |
P2 |
x |
1 |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
Рис.3.3 |
|
Решение: |
|
|
|
Введем неподвижную систему координат Оху. В этой системе координат обозначим за х1 и х2 координаты центров масс призм А и В в начальный момент времени (рис. 3.3). Смещение по горизонтали, призмы А обозначим S.
Смещение в процессе движения верхней призмы В относительно нижней призмы А будет равно (a-b). Тогда смещение верхней призмы относительно неподвижной системы координат составит S+(a-b).
В конечный момент времени координаты центров масс призм А и В будут соответственно равны
x1′ = x1 + S, x2′ = x2 + S +(a −b).
Механическая система состоит из двух тел: однородных призм А и В. Внешними силами, приложенными к системе являются силы тяжести: Р1 и Р2 и реакция гладкой поверхности основания призмы А, направленная по вертикали (на рисунке не показана). Все эти внешние силы вертикальны, поэтому сумма их проекций на горизонтальную ось равна нулю.
В соответствии со следствием 2 из теоремы о движении центра масс делаем вы-
|
n |
вод: поскольку сумма проекций внешних сил на ось х равна нулю , то ∑Fkxe = 0 , то |
|
|
k =1 |
& |
= const. |
xC |
|
Поскольку в начальном состоянии система покоится, то хс=const.
66
Запишем выражение для определения положения центра масс в начальном поло- |
|
жении системы: 3с |
5‰ª‰f51ª1 |
ª‰fª1 |
|
Запишем выражение для определения положения центра масс в конечном поло-
жении системы с учетом изменения начальных координат точек приложения сил Р1 |
|||
и Р2: 3с |
5«‰ª‰f5«1ª1 |
|
$5‰f¬&ª‰f$51f¬f$L}-&&ª1 |
ª‰fª1 |
ª‰fª1 |
||
Так как знаменатели в этих выражениях равны, то приравняем числители дробей:
3D©D 3 © $3D ®&©D $3 ® $/ ¯&&©
|
Упрощая |
полученное |
равенство, |
получим: |
|
$©D © &® $/ ¯&© 0 |
|
|
|||
|
Решая полученное уравнение относительно неизвестной переменной S, полу- |
||||
чим |
® }ª1$L}-& ª1$D§} & 2м |
|
|
||
|
ª‰fª1 |
Nª1 |
|
|
|
Ответ: |
S = 2м, влево. |
|
|
||
Задача 3.6. Теорема о движении центра масс
Определить перемещение S плавучего крана, поднимающего груз весом Р1=2т, при повороте стрелы крана на 300 до вертикального положения (рис.3.4).
Вес крана Р2=20т; длина стрелы l =8 м. Сопротивлением воды пренебречь. Решение:
Механическая система состоит из двух тел: плавучего крана и груза. Внешними силами, приложенными к системе являются вес крана Р1, вес груза Р2 и давление воды, направленное снизу вверх (на рисунке не показано). Все эти внешние силы вертикальны, поэтому сумма их проекций на горизонтальную ось равна нулю.
67
y |
x2 |
|
|
|
A |
|
30° |
|
P2 |
O |
x |
|
P
x1
1
Рис.3.4
В соответствии со следствием 2 из теоремы о движении центра масс делаем вы-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
вод: поскольку сумма проекций внешних сил на ось х равна нулю , то ∑ Fkxe = 0 , то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
& |
= const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
xC |
Поскольку в начальном состоянии система покоится, то хс=const., |
||||||||
|
|
||||||||
|
Введем неподвижную систему координат Оxy (рис.3.4). |
||||||||
|
Запишем выражение для определения положения центра масс в начальном поло- |
||||||||
|
|
|
|
x m + x m |
x P + x P |
||||
жении системы: |
x = |
1 1 |
2 2 |
= |
1 1 |
2 2 |
. |
||
|
|
|
|
||||||
C |
m + m |
P + P |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
Запишем выражение для определения положения центра масс в конечном положении системы с учетом изменения начальных координат точек приложения сил Р1
|
x = |
x¢m + x¢m |
= |
x¢P + x¢P |
= |
( x + S ) P + ( x + S -l ×sin 30°) P |
||||
и Р2: |
1 1 |
2 2 |
1 1 |
2 2 |
1 |
1 2 |
2 . |
|||
C |
m + m |
|
P + P |
|
|
P + P |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
Так как знаменатели в этих выражениях равны, то приравняем числители дробей:
x P + x P = ( x + S ) P + |
( x + S -l ×sin 30°) P , |
|
|
|
|||||||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Упрощая полученное равенство, получим: |
( P + P ) S - P l ×sin 30° = 0. |
||||||||||||||
1 |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Решая полученное уравнение относительно неизвестной переменной S, полу- |
|||||||||||||
|
|
S = |
P2 |
l ×sin 30° |
= |
2×8×0.5 |
= 0.36(м). |
|
|
|
|
||||
чим |
|
( |
1 |
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
P |
+ P |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
S = 0,36м |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
68
3.3 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Производная по времени от количества движения механической системы равна
главному вектору внешних сил, действующих на систему: dQ = ∑n R e
dt k =1
Fk
dQ |
|
|
n |
||
|
x |
|
= ∑ Fkxe |
||
|
|||||
|
dt |
|
|
k =1 |
|
dQ |
|
|
n |
||
или в проекциях на оси: |
|
|
y |
= ∑ Fkye . |
|
|
dt |
|
|||
|
|
|
k =1 |
||
dQ |
|
n |
|||
|
|
z |
= ∑ Fkze |
||
|
|
||||
dt |
|
|
k =1 |
||
Количеством движения материальной точки называется векторная величина,
R |
|
R |
|
|
|
равная произведению массы точки на ее скорость: Q = mv . |
|
|
|
||
Количеством движения материальной системы называется |
геометрическая |
||||
R |
n |
R |
|
R |
R |
сумма количеств движения всех точек системы: Q = ∑mr vr |
или |
Q = mvC . |
|||
r =1
Количество движения характеризует только поступательную часть движения и никакого отношения не имеет к его вращательной составляющей.
Следствие 1:
Если главный вектор внешних сил механической системы все время равен нулю, то вектор количества движения системы постоянен.
Следствие 2:
Если сумма проекций всех внешних сил механической системы на какую-либо ось все время равна нулю, то проекция количества движения на эту ось постоянна.
и
)
Задача 3.7. Теорема об изменении количества движения
Механическая система состоит из двух материальных точек с массами ©D 2 кг
© 3кг, движущимися с взаимно перпендикулярными скоростями )D 4 м и
с
2 м. Чему равно количество движения этой механической системы?
с
Решение:
Количество движения механической системы определяется по формуле:
∑? ©±)±
±KD .
|
|
|
69 |
|
|
|
|
m2v 2 |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1v 1 |
|
|
|
|
Рис.3.5 |
|
|
Для двух материальных точек оно равно сумме двух векторов |
|||||
которые |
можно |
сложить |
по |
правилу |
|
|
|
|
|
кг∙м |
&. |
$©D)D& $© ) & $2 ∙ 4& $3 ∙ 2& 10$ с |
|||||
Ответ: |
Q=10 кг·м/с. |
|
|
|
|
©D)D © ) ,
параллелограмма:
Задача 3.8. Теорема об изменении количества движения
Платформа массой ©D 160 кг движется по гладкой горизонтальной плоскости с
постоянной скоростью )§ 2.0 м. По платформе движется тележка массой ©
с
40 кг с относительной скоростью ² 2.5 м. В некоторый момент времени тележка
с
была заторможена. Чему равна общая скорость платформы вместе с тележкой после остановки тележки?
2
1
u
v 0
1 |
N 1 |
2 |
N 2 |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
v 0 |
m2 |
g |
|
m1 g |
|
|
|
Рис.3.6 |