6848

40

Рис.2.6

2. Определяем положение точки М при t=2c (точку М1).

Из геометрии известно соотношение между центральным углом окружности и длиной соответствующей дуги: o ]r.

Определим дуговую координату для момента времени t=2c.

W|QKXU Xp ∙ X p ∙ XX p p Zp.

Это значение дуговой координаты соответствует центральному углу

] rW ZpX XiRR.

Показываем точку М1 на рисунке.

Рис.2.7

3. Определяем скорость точки.

Определяем проекцию скорости на единичный вектор касательной:

41

Определяем проекцию ускорения на единичный вектор нормали:

!\ _gX Z.^X X . tZ смX.

Определяем модуль ускорения (полное ускорение):

! !Xd !X\ √^. TiX . tZX T. ^i смX. 5. Определяем характер движения.

Проекции _d и !d имеют разные знаки.

Это говорит о том, что вектора *# и *#!d направлены в разные стороны.

Таким образом, движение точки в заданный момент времени t=2c является за-

медленным.

Ответ: _ Z. ^ мс , !d ^. Ti UмX , !\ . tZ смX, ! T. ^i смX

2.2 Движение твердого тела

Простейшими видами движения твердого тела являются поступательное и вращательное движения.

Поступательным движением называется движение, при котором любой отрезок, принадлежащий телу, перемещается, оставаясь параллельным своему первоначальному направлению. Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением какой-либо его точки, например центра тяжести.

Вращательным движением называется движение тела, при котором все точки

Полное ускорение точки вращающегося тела является векторной суммой каса-

тельного и нормального ускорений:

*#a *#a… *#a†,

где a… ε R - касательное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела называют вращательным ускорением,

/? ~ R - нормальное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела называют центростремительным или осестремительным ускорением.

2.3Преобразование вращательного движения

Вдвижущихся элементах машин часто происходят преобразования движений: ∙ преобразование одного вращательного движения в другое, ∙ преобразование вращательного движения в поступательное

(и наоборот).

Преобразования эти происходят с помощью

∙зубчатых или фрикционных передач,

∙ременных или цепных передач.

43

Рис.2.8

Связи между скоростями двух различных движений устанавливаются из условия отсутствия проскальзывания между взаимодействующими телами, то есть из условия равенства скоростей двух тел в точке их соприкосновения.

Так, справедливым является соотношение

~D D ~ или

которое получено из условия, что в точке соприкосновения )D ) (скорость точки первого тела равна скорости точки второго тела).

Задача 2.7. Преобразование движений твердого тела В механизме домкрата рукоятка А отклоняется на угол ‹, который изменяется в

пределах от -300 до +300 по закону ‹ p` W[\ ŒpQZ •. Рукоятка А жестко соединена с

шестерней 1, то есть ‹^ ‹. Шестерни 2, 3, 4, 5, вращаясь, толкают зубчатую рейку В, для которой движение вниз запрещено.

известно, что r h см.

45

Скорость рейки В при •T • R будет равна нулю (движение вниз отсутствует), а

при •T s R находится из условия _‘ •TrT:

_‘ •TrT XhhpX UVW ŒpQZ • ∙ ^` p^hX UVW ŒpQZ •.

При этом ускорение рейки В будет равно

!‘ _.‘ pTZ W[\ ŒpQZ •.

При этом модуль ускорения точки М будет равен:

!“ b$!dМ&X $!\М&X r b•X • h√R. RZ^X R. R^i ^, hh смсX . Ответ: _‘|QK^ R. Xi мс, !‘|QK^ R. ti смX, _М R. h^` Uмс , !“ ^, hh смсX .

Задача 2.8. Преобразование движений твердого тела Два шкива соединены ременной передачей. Точка А одного из шкивов имеет ско-

рость ) 20 см⁄с. Определить скорость точки В другого шкива.

R

v A

r / 2

47

На какой угол повернется тело за время t =2 с?

Решение:

По условию задачи вращение тела является равномерным. Поэтому, угол, на кото-

рый тело повернется за некоторый промежуток времени, следует искать по форму-

ле: € ~% 6 ∙ 2 12 $рад&.

Ответ: € 12 рад.

2.4 Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским движением называется движение твердого тела, при котором его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Скорость точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и скорости, которую эта точка имеет в относительном вращении этой фигуры вокруг по-

люса:

)#˜ )#” )#˜”.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю: )™ 0. Такая точка всегда существует.

Скорость произвольной точки М плоской фигуры равняется скорости, которую она имеет в относительном вращении вокруг МЦС.

Ускорение точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения, которое имеет эта точка в относительном вращении фигуры вокруг по-

люса:

/#˜ /#” /#˜” /#” /#˜”< /#˜”? .

Задача 2.11. Плоскопараллельное движение твердого тела

Пусть колесо радиусом R=1м катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Скорость центра колеса _R ^ мс , ам ускорение центра колеса по направлению совпадает со скоростью и равно !R ^ сX.

48

Определить скорости и ускорения точек А, В, С, Р, расположенных на ободе колеса.

Решение:

1. Определение скоростей МЦС колеса – точка Р. Относительно точки Р колесо вращается по часовой стрел-

ке. Соединим точку Р с точками А, В, С и покажем направления скоростей в сторону вращения по перпендикуляру к отрезкам АР, ВР, СР.

2. Определение ускорений Расстояние от точки О до МЦС (точки Р) всегда постоянно. Кроме того точка О

R vC

P P

Рис.2.12

Выберем в качестве полюса центр колеса (точку О) и используем для определения

ускорения произвольной точки М теорему о сложении ускорений:

*#!“ *#!ž *#!“ž *#!ž *#!d“ž *#!\“ž.