3.6. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

При наладке аппаратных средств и написании новых программ (особенно на языках низкого уровня типа ассемблера) часто возникает необходимость посмотреть содержимое той или иной ячейки памяти машины. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц, очень неудобных для восприятия. Кроме того, естественные восможности человеческого мышления не позволяют быстро и точно оценить величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц. Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбить его на группы разрядов, например по три и четыре разряда. Разбив таким образом число можно закодировать каждую группу разрядов отдельно, сократив при этом количество символов необходимых для записи числа. Последовательность из 3-х бит имеет 8 комбинаций, а из 4-х – 16 комбинаций. Для кодирования трех битов (триад) используются цифры от 0 до 7, а для кодирования четырех битов (тетрад) – цифры от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F (таблица 3.4). Полученные системы, имеющие в основании 8 и 16, назвали соответственно восьмиричной и шестнадцатиричной.

Таблица 3.4.

Восьмиричная система счисления		Шестнадцатиричная система счисления
Цифра	Триада	Цифра	Тетрада
0	000	0	0000
1	001	1	0001
2	010	2	0010
3	011	3	0011
4	100	4	0100
5	101	5	0101
6	110	6	0110
7	111	7	0111
		8	1000
		9	1001
		A	1010
		B	1011
		C	1100
		D	1101
		E	1110
		F	1111

Для перевода восьмиричного или шестнадцатиричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехзначным двоичным числом или четырехзначным двоичным числом (таблица 3.4). При этом отбрасываются ненужные нули в старших и младших (для дробной части) разрядах.

Пример. Перевести .

.

Пример. Перевести .

.

Для перехода от двоичной к восмиричной (шестнадцатиричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмиричной (шестнадцатиричной) цифрой.

Пример. Перевести .

.

Пример. Перевести .

.

Перевод из восьмиричной системы в шестнадцатиричную и обратно осуществляется через двоичную систему при помощи триад и тетрад.

Пример. Перевести .

.

3.7. Перевод чисел из системы с основанием p в систему

Рассмотренный выше метод взаимного перевода чисел между двоичной и восьмиричной (шестнадцатиричной) системами счисления заслуживает более детального рассмотрения. Обозначим основание двоичной системы через p. Тогда основание восьмиричной системы , а для шестнадцатиричной. Именно поэтому перевод чисел между двоичной и восьмиричной (шестнадцатиричной) системами осуществляется простой группировкой цифр. При этом показатель степени определяет по сколько цифр системы с меньшим основанием необходимо группировать, чтобы получить одну цифру системы с большим основанием. Аналогичный метод справедлив для любыхp и q, связанных соотношением .

Пример. Перевести

Здесь p= 3, q= 9, k= 2. Составляем таблицу соответствия между системой с основанием 3 и системой с основанием 9.

Девятиричная система	Троичная система
0	00
1	01
2	02
3	10
4	11
5	12
6	20
7	21
8	22

3.8. Перевод чисел из системы основанием p в систему q (общий случай)

Предположим, что мы выполняем преобразование из системы с основанием p в систему с основанием q, когда p и q произвольные целые положительные числа. В основе большинства методов лежат операции умножения и деления, которые выполняются по одной из следующих схем (преобразование целых чисел).

Метод 1. Деление на q, при помощи арифметических действий над величинами с позиционным представлением по основанию p. Выше он рассматривался (метод деления для перевода чисел из десятичного представления в недесятичное) для частного случая когда p= 10, а q произвольно.

Метод 2. Умножение на p, при помощи арифметики основания q. Выше он рассматривался (метод перевода чисел из недесятичного представления в десятичное) для частного случая когда p произвольно, а q= 10.

Заметим, что на практике достаточно сложно выполнять арифметические действия над числами, записанными в системе счисления с произвольным основанием. Поэтому преобразование из системы с основанием p в систему с основанием q, когда p и q произвольные целые положительные числа, выполняется с использованием промежуточной системы счисления, выбираемой по соображениям удобства (десятичной, если вычисления производятся вручную и двоичной, если на компьютере).