Теоретическая механика.-4

dv = r2dz = (R2-z2)dz,

а интегрирование по объему можно заменить теперь интегрированием по координате z в пределах от 0 до R:

V = 2/3R3; zc = 3/8R.

Следует обратить внимание, что положение центра тяжести полушара здесь отсчитывается от сечения так называемого большого круга.

2 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

2.1 Кинематика точки

2.1.1 Основные понятия

Кинематика – раздел механики, изучающий геометрические свойства движения тел без учета их инертности и действующих на них сил. Фактически этот раздел можно считать частью геометрии, если в последнюю ввести понятия, связанные с изменением координат, скорости и других характеристик движения точки во времени.

Этот раздел имеет как самостоятельное значение, так и как введение в динамику.

В дальнейшем движение будет рассматриваться в конкретных системах координат, или системах отсчета. Эти системы выбираются наблюдателем, и формально все системы равноправны. Все кинематические зависимости, справедливые в одной системе координат, справедливы в другой.

Кинематические зависимости в теоретической механике формулируются в привычном для нас обычном (евклидовом) пространстве и с использованием понятия абсолютного времени t.

Все кинематические величины – функции времени t; момент времени t = 0 в большинстве задач означает начало отсчета, некоторый условный момент времени.

Кинематически задать движение тела – значит, задать его положение относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики – зная закон движения тела (точки), установить все остальные кинематические величины, характеризующие движение.

Наиболее употребительными являются такие величины: 1) траектория; 2) скорость точки (тела); 3) ускорение точки (тела).

то

2. Координатный способ

Если задать

то соотношения (2.3) представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах.

Аналогичные по существу зависимости можно записать для цилиндрических, сферических и т.д. систем координат.

В случае, когда точка движется в плоскости, задают

x = f1(t), y = f2(t),

(2.4)

а при движении вдоль прямой, принимая ее за ось Х,

По существу, (2.3) и (2.4) представляют собой т.н. параметрическое задание траектории. Исключая t, получаем привычные формы записи y = y(x) и т.д.

3. Естественный (траекторный) способ

X

Рис. 2.2

то приращение r – вдоль этой траектории, если криволинейна – то по хорде.

Средняя скорость определяется как отношение смещения за некоторое время к величине этого времени:

Скорость в данный момент времени (мгновенная скорость) определяется предельным переходом при уменьшении интервала времени:

(2.8)

Направление вектора скорости – по касательной к траектории в сторону движения. Можно заметить, что средняя и мгновенная скорости по величине совпадают, если в рассматриваемом интервале времени скорость движения постоянна, а по направлению совпадение этих скоростей будет только при прямолинейном движении.

Р а з м е рн о с ть с к о р ос ти с о от в е т с тв е н н о п о л уч а е т с я к а к о т н о ш е н и е е д и н и ц ы д л и н ы ( п р ой д е н н ог о п ут и ) к е д и н и ц е в р е м е н и :

[v] = м/с, см/мин, км/час и т.д.

2.1.3 Вектор ускорения точки

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение скорости (по модулю и направлению) с течением времени.

За время t скорость меняется на величину v= v1–v. Вектор приращения скорости v всегда направлен в сторону вогнутости траектории. Это легко можно установить, рассмотрев два смежных направления вектора скорости точки при ее движении по криволинейной траектории.

[a]=L/T2= м/с2 и т.д.

При прямолинейном движении ускорение ориентировано вдоль траектории.

Если траектория – плоская кривая, то вектор ускорения лежит в плоскости кривой и направлен в сторону вогнутости.

Если траектория – пространственная кривая, то вектор ускорения направлен в сторону вогнутости кривой и находится в плоскости, проходящей через точку М (исходную) и прямую, параллельную касательной в точке М1 (текущей). В пределе приt 0 эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. В этой плоскости происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при малом перемещении точки.

2.1.4 Определение скорости и ускорения при координатном задании движения

Используется следующая теорема:

проекция производной от вектора на неподвижную ось равна производной от проекции вектора на ту же ось, т.е. если

q ddtp , то

Здесь и далее точка над переменной означает производную по времени от этой переменной, являющейся функцией времени. Соответственно две точки – вторую производную, и.т.д.

Итак, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих координат точки.

По проекциям скорости точки определяются ее величина и направление:

Здесь , , - так называемые направляющие углы, составляемые вектором скорости с осями X, Y, Z соответственно.

По аналогии для ускорения справедливо:

или проекции ускорения на оси системы координат равны первым производным по времени от проекций скоростей или вторым производным по времени от координат точки.

a ax2 a2y az2 , cos1 ax / a,cos 1 ay / a, cos 1 az / a.

(2.15)

В случае движения точки в плоскости упрощения очевидны: исчезают проекции скорости и ускорения на ось z.

Для прямолинейного движения (одномерный случай):

Пример 1

П ус т ь з а д а н ы ур а в н е н и я д в и ж е н и я т оч к и в п л ос к ос т и