Теоретическая механика.-4

конечная угловая скорость будет равна нулю 1 = 0. Перемещение системы полностью определяется углом В0АВ1. Изменение кинетической энергии стержня в соответствии с теоремой определяется работой внешних сил:

T1 T0 Ake . (а)

Вычислим входящие в это равенство величины. В конечном положении скорость стержня равна нулю, т.е. Т1 = 0. В начальный момент времени, когда стержню сообщается угловая скорость 0 (искомая величина), кинетическая энергия определяется половиной произведения момента инерции стержня относительно оси вращения, проходящей через точку А, на квадрат его угловой скорости

Здесь учтено, что момент инерции стержня JA относительно перпендикуляра к оси стержня, проведенного через его конец, равен

Шарнир А является идеальной связью – его реакция направлена вдоль стержня, перпендикулярно направлению его движения в любой момент времени, и не дает вклада в работу на этом перемещении. Работу совершает только внешняя сила – сила тяжести. Эта работа – при повороте стержня до горизонтального положения – отрицательна (сила тяжести направлена вниз, против направления движения) и равна –Mgb/2. Подставляя эти значения в (а), получим искомое значение начальной угловой скорости

0 3g / b.

4.5.3 Динамика твердого тела

Рассм отрим прил оже ние общ их те орем к

динами ке тверд ог о тела .

4.5.3.1Вращательное движение твердого тела вокруг

неподвижной оси

Так как из учен ие п ос тупате льн ог о дв и жени я тверд ог о тела св одитс я к зада чам дина мики точки, то рассм отри м в ращате льное дв и жение тве рд ог о тел а в округ не п од ви жн ой оси ( рис . 4. 8) .

Пус ть н а т вердое те ло дейс тву ют силы

F1e , F2e ,..., Fne . Кроме того, на те ло де йству ют ре акции

подшипн иков RA , RB . Пос кол ьку эти ре акции проходят чере з ос ь враще ния, момент ы их от нос ител ьн о оси Z равн ы нул ю . С у чет ом эт ого запишем теорему момент ов :

dKdtz M z mz (Fke ).

В дальнейшем величину Mz называем вращающим моментом. Подставляя в предыдущее соотношение вличину Kz= Jz , получим

Э то уравне ние пре дставляет с об ой ди ффере нциальн ое ура в нение в ращате льн ого дв и жения тверд ог о тела . Из не г о след уе т , что произведе ние м омен та ине рции тела отн оси тельн о оси вращен ия на уг лов ое ус корен ие равн о в ращающем у м омен ту

J z M z .

Это равенство показывает, что при заданном значении

вращающего момента угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции тела. Таким образом,

момент инерции тела при его вращательном движении играет такую же роль, как масса тела при его поступательном движении, или момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Частные случаи:

1.Если Мz = 0, то = const, и тело вращается равномерно.

2.Если Мz = const, то = const, и тело вращается равнопеременно.

M (1 e nt ).

Отсюда следует, что угловая скорость ротора со временем возрастает, стремясь к величине * M / .

4.5.3.2. Плоскопараллельное движение твердого тела

Положение тела при его плоскопараллельном движении определено, если известны координаты полюса и угол поворота тела вокруг полюса. Задачи динамики решаются наиболее просто, если в качестве полюса принимается центр масс, и тогда положение тела определяется тремя величинами координатами xC, yC и углом (рис. 4.10).

На рисунке показано сечение тела плоскостью, параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс. Пусть на

тело действуют внешние силы F1e , F2e ,..., Fne , лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнение движения центра масс найдем по теореме о движении центра масс:

MaC Fke , (с)

а враща тельн ое дви жен ие в округ цен тра С оп ре дели тся уравнен ием ( b) .

У равне ние ( с ) п осле п роекти рова ния обеих частей равенс тва на коорд инатн ые оси принимае т вид

Э ти уравне ния пре дставляют с о б ой д иффе ренц иальн ые уравне ния плоскопа раллельног о

дв и жения тверд ог о тела . С и х п ом ощ ью п о заданн ым си лам оп ределяется закон дв иже ния те ла , или п о зада нн ом у закон у дв ижен ия находи тся гла вный ве ктор и г лавны й м омен т де йств ую щи х на тело си л.

4.6 Принцип Даламбера

Уравнения движения или равновесия твердого тела можно получить, используя не уравнения, вытекающие из законов Ньютона, а некоторые общие принципы механики. Это позволяет в ряде случаев найти более эффективные методы решения задач.

Один из таких общих принципов носит название принципа Даламбера.

4.6.1 Принцип Даламбера для материальной точки и системы точек

Пусть некоторая точка с массой m находится под

действием активной силы F a и реакции связи N . Под действием этих сил (а реакция связи – это тоже сила) точка в инерциальной системе отсчета будет двигаться с некоторым

ускорением a . Введем в рассмотрение величину, имеющую размерность силы

Fи = – m a.

Эта векторная величина, равная по модулю произведению

массы точки на ее ускорение и направленная против ускорения,

называется силой инерции.

При приложении этой силы к движущейся точке можно утверждать, что:

если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакциям связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной:

Fa + N + Fи = 0.

Это равенство выражает принцип Даламбера для материальной точки.

Легко видеть, что оно внешне представляет собой просто другую форму записи второго закона Ньютона.

Рассмотрим теперь систему n материальных точек. Для некоторой конкретной точки с номером k после введения

Индекс «е», как и раньше, относится к внешним силам, индекс «i» – к внутренним. Те и другие силы включают в себя как активные силы, так и реакции связей.

Записав аналогичные выражения для всех точек системы, придем к результату, который можно сформулировать следующим образом:

если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме внешних и внутренних сил, добавить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все положения статики.

Это и есть формулировка принципа Даламбера для системы точек.

По существу, принцип Даламбера позволяет рассматривать задачи движения как аналогичные задачи о равновесии систем, которые хорошо изучены в статике. Часто это упрощает проведение конкретных расчетов.

Для системы сил, находящейся в равновесии, в статике были получены условия равенства нулю главного вектора и главного момента сил. Это утверждение справедливо как для неподвижной системы, так и для движущейся. Но тогда для выполнения этих условий нужно просуммировать все силы, входящие в уравнение (4.10), и моменты относительно некоторого центра О. Получим

Здесь нет внутренних сил системы, часто неизвестных из условия задачи, и решение значительно упрощается. По существу, эти уравнения эквивалентны уравнениям, входящим в формулировки теорем об изменении количества движения и главного момента количеств движения системы.

В отличие от переносной и кориолисовой сил инерции, которые вводились для того, чтобы привести уравнения относительного движения по форме к уравнениям для инерциальной системы отсчета, в принципе Даламбера в инерциальной системе вводятся силы инерции, чтобы свести уравнения динамики по форме к уравнениям статики.

Если сравнить первое из уравнений (4.12) с уравнением, выражающим теорему о движении центра масс системы, то получается:

т.е. главный вектор сил инерции механической системы (в

том числе и твердого тела) равен произведению массы системы (твердого тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

При поступательном движении все точки системы (тела) имеют одинаковые скорости и ускорения, а силы инерции