Теоретическая механика.-4

Разумеется, эти формулы справедливы и для случая вращения тела вокруг неподвижной оси. Поскольку при этом x =

y = 0, z = , то vx = y, vy = x, vz = 0.

Для определения ускорения точки М дифференцируем (2.28) по времени:

проходящей через М и вектор (рис. 2.33), при этом по модулю

а1= r sin = h1.

Вектор a2 перпендикулярен одновременно векторам v и ,

направлен вдоль МС, при этом а2 = v sin 90 = 2h, т.к. v = h. В отличие от случая вращения вокруг неподвижной оси,

здесь а1 не является вектором касательного ускорения точки М (по касательной направлен вектор v = r), следовательно, и а2 не есть нормальное ускорение точки М.

Рис. 2.33

Пример

Найти скорости точек В и С конического катка, бегущего по конической неподвижной поверхности со скоростью центра vA

(рис. 2.18).

C

O A

B

Рис. 2.34

Поскольку точка О неподвижна, а качение по поверхности конического катка идет без скольжения, то скорости точек, расположенных на линии ОВ, равны нулю, и линия ОВ является мгновенной осью вращения. Тогда

vA = h1,

где угловая скорость катка при его повороте вокруг оси ОВ; h1 – расстояние от точки А до оси ОВ. Эта скорость определяется как

= vA/h1.

Поскольку расстояние от точки С до оси вращения вдвое больше, чем от точки А, то vC = 2vA . Поскольку точка В находится на мгновенной оси вращения, то vB = 0.

2.4.4 Общий случай движения свободного твердого тела

Движение АТТ полностью определится, если задать движение какой-либо его точки А, принятой за полюс, и положение «вмороженной в тело» системы координат:

Первые три соотношения определяют движение полюса, вторые три – вращение тела вокруг этого полюса. Таким образом, в самом общем случае свободно движущееся тело твердое может иметь максимум шесть степеней свободы.

В общем случае движение твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс со скоростью vA, и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А.

Основными кинематическими характеристиками такого движения являются скорость vA и ускорение aA полюса, определяющие поступательное движение, и угловая скорость и угловое ускорение , определяющие вращение вокруг этого полюса.

Можно отметить, что приняв другую точку В за полюс, получим в общем случае vA vB, aA aB. Что касается

характеристик вращательной составляющей движения, то они не меняются – так же, как и в случае плоского движения.

В частном случае плоскопараллельного движения АТТ векторы угловой скорости и углового ускорения всегда перпендикулярны плоскости движения. Достаточно очевидно, что скорость любой точки М

vM vA vMA vA ( AM ),

а ускорение

aM aA aMA ,

где второе слагаемое определяется по соотношению вида (2.30).

2.5Сложное движение точки

2.5.1Относительное, переносное и абсолютное движения

Вряде задач механики целесообразно рассматривать

движение точки в двух системах координат одновременно. Одна из них считается неподвижной (условно неподвижной), а вторая определенным образом движется относительно первой. При такой постановке движение точки (или тела) называют сложным, или составным.

Много задач при таком подходе упрощается. Если объект движется, например, внутри транспортного средства (внутри вагона, самолета и т.п.), то можно разложить движение на два: одно связано с движением объекта по отношению к транспортному средству, а второе с движением самого этого средства по отношению к неподвижной внешней местности. Такой подход делает описание и исследование такого движения намного проще.

Пусть точка М движется в системе Oxyz, которая сама

Рис. 2.35

Определения.

1.Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz называется относительным.

Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной.

Скорость и ускорение точки в этом движении называются относительными и обозначаются индексом r.

2.Движение, совершаемое системой Oxyz (и всеми связанными с ней точками пространства) по отношению к

неподвижной системе O1x1y1z1, является для точки М переносным движением.

Скорость той точки m, неизменно связанной с подвижными осями Oxyz, с которой совпадает в данный момент точка М,

относительно O1x1y1z1 называется переносной скоростью, а ускорение – переносным ускорением, и обозначаются индексом e:

ve vm , ae am .

3. Движение, которое совершает точка М по отношению к неподвижной системе координат O1x1y1z1, называется абсолютным, или сложным.

Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость – абсолютной скоростью, ускорение абсолютным ускорением, и все соответствующие величины обозначаются индексом а.

2.5.2 Теорема о сложении скоростей

Пусть за время t = t1 – t точка М совершит некоторое относительное перемещение ММ/ (рис. 2.36). За это же время сама кривая (траектория) из положения АВ перейдет в новое А1В1. Точка m кривой АВ, совпадавшая с точкой М в момент времени t, совершает переносное движение mm1 Mm1. В итоге

точка М переходит в положение М1, т.е. ее абсолютное перемещение будет ММ1.

Из векторного треугольника Мm1M1 следует

_____ ______ _______

MM1 Mm1 m1M1 .

Рис. 2.36

Деля обе части этого равенства на t и переходя к пределу при t 0, получим слева значение абсолютной скорости, а справа сумму относительной (по траектории А1В1) и переносной скоростей движения точки m:

va vr ve .

Последнее слагаемое есть следствие движения траектории АВ и перехода ее в положение А1В1.

Направлены векторы скоростей по касательным к соответствующим траекториям. Это выливается в формулировку теоремы.

При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Речь идет о суммировании векторных величин, поэтому в данной формулировке неслучайно подчеркнуто слово «геометрической».

Пример 1

Точка М движется вдоль отрезка прямой ОА с постоянной скоростью u, а прямая вращается в плоскости чертежа вокруг точки О с угловой скоростью . Найти скорость точки в зависимости от расстояния ОМ (рис. 2.37).

Движение точки М вдоль ОА является относительным, и скорость этого движения vr = u известна. Переносным является движение точки, совпадающей в данный момент времени с точкой М и лежащей на прямой ОА. Скорость этого движения ve определяется формулой ve = r, где r = ОМ. Направления относительной и переносной скоростей взаимно перпендикулярны, поэтому величина абсолютной скорости

va u2 2r 2 .

Пример 2

Кривошип ОА длиной r вращается с угловой скоростью . Длина шатуна АВ = b (рис. 2.38). Для данного угла найти скорость ползуна В относительно кривошипа ОА и его абсолютную скорость.

Относительное движение шатуна АВ по отношению к кривошипу ОА – это вращение вокруг шарнира А, и относительная скорость точки В направлена по нормали к АВ. Абсолютная скорость точки В направлена вдоль ОВ.

Переносным для точки В является движение кривошипа ОА. Представим, что ОАВ – жесткий треугольник, вращающийся вместе с кривошипом вокруг оси О с угловой скоростью . Тогда скорость точки В этого треугольника, совпадающей с точкой В шатуна АВ, будет переносной скоростью точки В шатуна и направлена перпендикулярно ОВ:

vr ve / cos (r cos l) . cos

Для получения зависимости vr( ) исключим угол . Заметим, что b sin = r sin , и

После этого можно получить

va = vr sin .

Учитывая, что sin = (rsin )/b, получим

va = (vrrsin )/b.

Если r = b, то

vr = 2 b, va = 2 b sin .

2.5.2 Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки

aa ddtva ddtvr ddtve .

Производные справа определяют изменение каждого из векторов при абсолютном движении. Эти изменения слагаются из изменений при относительном и переносном движениях. Т.е.

если отмечать изменения векторов vr и ve при относительном движении индексом 1, а при переносном – индексом 2, то

Но по определению относительное ускорение характеризует изменение относительной скорости только при относительном движении, т.е. движение осей Oxyz (переносное) при этом во внимание не принимается.

Поэтому