Теоретическая механика.-4

Рис. 3.16

Примем начало отсчета в начальном положении кольца. Уравнение движения кольца составим с учетом того, что

сила тяжести P в него не войдет (она перпендикулярна оси М и на движение кольца не влияет). То же относится и к реакции

связи N .

и2(v0 v ) kt.

Время до остановки в этом примере является конечной величиной.

Пример 2

Пусть в предыдущем примере сила сопротивления представляет собой силу трения F = f N. Для конкретности R = 0.3 м, v0 = 2 м/с, f = 0.3. Какой путь до остановки пройдет кольцо?

Составляя уравнения (3.27), получим:

m dvdt F, mvR2 Nn , Nb P.

Сила трения

F fN f Nb2 Nn2 .

Т.к. Nb = P = mg, то

Таким образом, сила трения зависит от скорости кольца. После замены dv/dt=v dv/ds и сокращения на m получим уравнение движения в виде

Разделяя переменные и беря в обеих частях равенства определенные интегралы, получим

В момент остановки v = 0, поэтому приближенно (считая g = 10 м/с2) получаем s 0.55 м.

Пример 3

Груз весом Р висит на нитке длиной b. Его отклоняют на угол и отпускают без начальной скорости. Определить натяжение нити в момент, когда груз будет в нижнем положении

(рис. 3.17).

Рассмотрим груз в нижнем положении. На него действуют

сила натяжения нити T и вес P . Радиус кривизны траектории определяется длиной нити b, и уравнение движения груза в проекции на нормаль к траектории n (в сторону вогнутости траектории)

mv12 / b T P ,

или

T P mv12 / b,

где v1 – скорость груза в нижнем положении. Для ее определения используем теорему об изменении кинетической энергии точки

Поскольку v0 = 0, то

mv12 2Pl(1 cos ),

и окончательно получаем

T = P (3–2cos ).

В частном случае, если нить в начальном положении отклонена на 90о, натяжение нити в нижней точке будет равно утроенному весу груза.

Пример 4

Груз М подвешен на нити длиной b = ОМ (рис. 3.18). Какую наименьшую скорость нужно сообщить грузу, чтобы он описал полную окружность в вертикальной плоскости?

Рис. 3.18

Найдем натяжение нити в произвольном положении, определяемом углом , и будем исходить из того, чтобы при любом его значении натяжение нити было положительным.

В положении М на груз действуют сила натяжения

нити T и вес P . Составим уравнение движения в проекции на главную нормаль Mn. Тогда

где v - скорость груза в положении М. Для ее определения применяем теорему об изменении кинетической энергии:

mv2/2 – mv02/2 = – Ph = – Pb (1–cos ).

Тогда

mv2 = mv02 – 2 P b(1–cos ).

Подставим это значение mv2 в (3.28) и вычислим Т:

T = P(v02/gb–2+3 cos ).

Наименьшее значение величина Т будет иметь при =180о:

Тmin = P(v02/gb–5).

Отсюда, при условии Tmin > 0 имеем

v0 >(5gb)1/2.

Если груз подвешен на невесомом стержне, который может работать и на сжатие, то груз опишет полную окружность при условии, что его скорость нигде (кроме верхней точки) не обращается в нуль. Но тогда изменение кинетической энергии от начального значения до нуля равно работе сил тяжести при перемещении груза из нижнего положения в верхнее:

mv02 /2 = 2mgb, откуда vmin = (4gb)1/2.

3.4.2 Относительное движение точки

Все законы динамики справедливы для абсолютного движения точки. Теперь рассмотрим движение точки по отношению к системе Oxyz, которая сама движется относительно неподвижной (инерциальной) системы O1x1y1z1. Для абсолютного движения справедливо:

maa Fk .

В то же время из кинематики известно, что

aa ar aе akor .

В дальнейшем обозначим (нас интересует в данном случае относительное движение точки), и тогда, введя переносную и кориолисову силы инерции, получим уравнение движения:

Полученные уравнения - не что иное, как запись основного закона динамики для относительного движения точки.

Следовательно,

Все уравнения и теоремы механики для относительного движения точки составляются точно так же, как уравнения абсолютного движения, если при этом к действующим на точку силам прибавить переносную и кориолисову силы инерции.

Частные случаи:

1. Если подвижные оси движутся поступательно, то в (3.29) исчезает справа последнее слагаемое (отсутствует кориолисово ускорение), и закон относительного движения принимает вид

ma Fk Fein .

2. Если подвижные оси движутся поступательно, равномерно и прямолинейно, то в (3.29) справа останется лишь первое слагаемое, т.е. закон движения будет иметь точно такой же вид, как и в неподвижной системе координат. Следовательно, такая система отсчета будет инерциальной.

Отсюда вытекает следствие:

никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится данная система отсчета в покое или в состоянии равномерного прямолинейного движения.

В этом заключается так называемый принцип относительности классической механики, открытый еще Галилеем.

3. Если точка неподвижна относительно подвижных осей, то Fkorin 0 , относительное ускорение точки тоже равно нулю. Тогда (3.29) принимает вид

Fk Fein 0.

Полученное уравнение представляет собой уравнение относительного равновесия (покоя) точки. Из него следует, что уравнения относительного равновесия составляются точно так же, как уравнения в неподвижных осях, если при этом к действующим на точку силам добавить переносную силу инерции.

3.5Прямолинейные колебания точки

3.5.1Свободные колебания без учета сил сопротивления

Колебания можно классифицировать по физическим признакам: механические, акустические, радиотехнические и т.д. Далее рассматриваются механические колебания, но многие законы, справедливые для них, справедливы и для других. Преимущество изучения механических колебаний заключается в их наглядности.

Рассмотрим движение точки вдоль прямой при действии силы, которая всегда направлена к некоторому центру (точке) О и пропорциональна расстоянию от этого центра, проекция которой на ось Ох (рис. 3.19):

Fх = – cx.

O F M

X

x

Рис. 3.19

Такая сила иногда называется восстанавливающей. Примеры таких сил – силы упругости, сила тяжести.

Дифференциальное уравнение движения точки массы m в проекции на ось Ох прямой будет иметь вид

(3.30)

Это дифференциальное уравнение описывает свободные колебания точки при отсутствии сил сопротивления.

Общее решение этого уравнения имеет вид

В этих соотношениях С1, С2 (А, k) – постоянные интегрирования.

Последняя форма представления решения удобнее для общих исследований.

Колебания, совершаемые точкой по закону (3.31), называются гармоническими. А – амплитуда колебаний, = kt+

– фаза колебаний, причем фазы, отличающиеся на 2 , считаются одинаковыми. Фаза, в отличие от координаты х, определяет не только положение точки, но и направление ее дальнейшего движения.

Величина определяет начальную фазу колебаний. Величина k называется круговой частотой колебаний; она

определяет, сколько полных колебаний происходит за 2 секунд. Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает

полное колебание, называется периодом. По определению kT = =2, откуда Т = 2 /k.

Величина , обратная периоду, называется частотой; она определяет число колебаний, совершаемых в одну секунду:

= 1/Т = k/2 .

Таким образом, обычная и круговая частоты отличаются друг от друга множителем 2.

Для определения постоянных интегрирования можно использовать или начальные условия, или краевые.

Так, начальные условия:

при t = 0: x = x0, v = v0.

Тогда из (3.31) и (3.32) получаем

x0 = A sin , v0/k = A cos ,

и

Краевые условия

Пусть при t = 0 x = 0, а при t = t1 x = l. Тогда

откуда решение уравнения колебаний будет

x = (l/sinkt1)sin kt –

если только t1 /k = T/2 (иначе знаменатель дроби в скобках обращается в нуль).

Решение существует только при l = 0 (l = A sin), иначе решения нет. Но если l = 0 и t1 = /k, то для определения А уравнение имеет вид 0 = А sin , откуда ясно, что А может быть любым. Т.е. решение имеет вид

x = A sin kt,

где А – любое число. Таким образом, в отличие от начальных условий, краевые могут приводить либо к отсутствию решения, либо к его неоднозначности.