Теоретическая механика.-4

образуют систему параллельных сил, аналогичную силам тяжести. Эти силы имею равнодействующую, проходящую через центр тяжести системы (тела).

Из второго уравнения (4.12) с учетом теоремы моментов получается (аналогичное выражение можно получить относительно оси):

M zu dKdt z ,

т.е. главный момент сил инерции системы (твердого тела)

относительно некоторого центра О равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента системы (тела) относительно того же центра.

Совершенно аналогичное утверждение можно сделать и для главного момента инерции относительно оси.

Приведение сил инерции твердого тела

В статике рассматривалось приведение системы сил к простейшему виду. Аналогично систему сил инерции твердого тела можно заменить можно заменить главным вектором, приложенным в произвольной точке О, и главным моментом, который можно представить в виде пары сил. Рассмотрим частные случаи.

1. Поступательное движение

В этом случае ускорения всех точек тела одинаковы и равны

ускорению центра масс aC . Тогда все силы инерции параллельны между собой и аналогичны силам тяжести. Поэтому силы инерции, как и силы тяжести, имеют равнодействующую, проходящую через центр масс тела, точку С.

Таким образом, при поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к равнодействующей

R u maC , проходящей через центр масс тела.

2. Вращательное движение

Пусть твердое тело имеет плоскость симметрии Оху и вращается вокруг оси Oz, перпендикулярной этой плоскости (рис. 4.11, на рисунке показано сечение тела плоскостью Оху).

aC

б уд ут ле жа ть в плоскости О ху и м омен т па ры б уд ет

те ла .

3 . Враще ние вокруг ос и , проходяще й чере з це нтр

масс те ла

ус корен ие цен тра масс равн о н улю . Н о тогда сис тема си л ине рци и те ла при в од ится к од н ой паре с

м омен том M Ozu , ле жащей в плоскости си мметрии те ла .

4 . Плоскопаралле льное движе ние

Ес ли те ло имеет п лос кость с имметри и и дви же тся па раллельн о этой п лоскос ти , то система с ил и не рции п рив оди тся к ле жащей в плоскос ти симме трии си ле

R u и п риложенн ой в центре масс , а также к паре с м омен том M Czu JCz .

Принцип Даламбера позволяет определять реакции связей иногда более просто, нежели обычным образом, особенно когда движение системы известно или может быть определено с помощью уравнений, не содержащих реакций связей, например, из теоремы об изменении кинетической энергии.

Пример 1

Пусть по горизонтальной поверхности движутся два груза Р1 и Р2 под действием силы Q, приложенной к первому грузу (рис. 4.12,а). Грузы связаны нитью. Коэффициент трения грузов о поверхность f. Определить ускорения грузов и натяжение нити.

меньше, чем меньше вес второго (заднего) груза. Поэтому для менее напряженного режима работы сцепки в железнодорожном составе выгоднее в голову поезда помещать более тяжелые, а в хвост – более легкие вагоны.

В рассмотренном примере пусть Q = 200 H, P1 = 400 H,

P2 = =100 H, f < 0.4.

При таком расположении грузов в соответствии с их нумерацией натяжение нити составит величину Т = 40 Н. Если же поменять грузы местами, то будет Т = 160 Н.

XA, YA, сила натяжения нити T . По принципу Даламбера присоединим еще силы инерции. На каждый элемент стержня массой m действует центробежная сила инерции m 2 x, где х

– расстояние от данного элемента до оси вращения. Эти силы

распределены по линейному закону вдоль длины стержня, и их равнодействующая приложена в центре тяжести соответствующего треугольника распределенных сил, т.е. на расстоянии

h = (2/3) l cos

от оси Ах. В данном случае величина этой равнодействующей определяется как главный вектор сил инерции

4.7 Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики

4.7.1 Классификация связей

Ранее мы вводили понятие и давали определение связей. Рассмотрим их классификацию.

Связи, не меняющиеся со временем, называются

стационарными, изменяющиеся – нестационарными.

Связи, накладывающие ограничения на положение точек системы, называются геометрическими. Если связи ограничивают еще и скорости точек системы, то они называются

кинематическими или дифференциальными.

Если можно перейти от дифференциальной связи к геометрической, то такая связь называется интегрируемой (т.е. в этом случае можно перейти от ограничений на скорости к ограничениям на координаты точек), в противном случае –

неинтегрируемой.

Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи объединяются термином голономные связи, а неинтегрируемые дифференциальные связи называются неголономными.

Сами механические системы в зависимости от наличия тех или иных связей называются голономными или

неголономными.

Наконец, различают связи удерживающие (которые работают при любом положении системы) и неудерживающие. В последнем случае говорят, что система может освобождаться от связей. Например, нить не может препятствовать движению груза в направлении точки подвеса.

4.7.2 Возможные перемещения системы. Число степеней свободы

Наличие механических связей ранее мы учитывали, вводя их реакции при рассмотрении равновесия или движения системы. Можно их учитывать по-другому: рассматривая только такие движения, которые не нарушают эти связи.

Такие перемещения системы (не нарушающие связей) называются возможными или виртуальными перемещениями. Они должны удовлетворять двум условиям:

1)быть элементарными (малыми), так как при конечных (больших) перемещениях система может перейти в положение, при котором эффект связей может быть другим по сравнению с исходным положением;

2)быть такими, чтобы все наложенные в данный момент времени на систему связи сохранялись, иначе может измениться вид рассматриваемой системы.

Итак, возможным перемещением механической системы

будем называть любую совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.

При этом понимается, что даже при наличии неудерживающих связей система от них не освобождается.

Далее используем для обозначения действительных

элементарных перемещений символ dr, а для возможных – r. При стационарных связях действительное перемещение совпадает с одним из возможных. При нестационарных связях действительное перемещение не совпадает ни с одним из возможных. Это можно продемонстрировать на примере перемещения груза в лифте, когда пол лифта представляет собой связь. Виртуальные перемещения направлены вдоль пола, а действительное перемещение при движении лифта всегда содержит вертикальную составляющую и никогда не совпадет ни с одним из возможных.

Число возможных перемещений может быть бесконечным. Однако можно указать некоторое число так

называемых независимых перемещений, через которые выражаются любые возможные. Например, плоскость задает такую связь, что все возможные движения в этой плоскости можно выразить в виде комбинации (суперпозиции) двух непараллельных векторов.

Число независимых возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы. Точка на плоскости имеет две степени свободы, т.к. положение точки на плоскости определяется двумя координатами.

Свободная материальная точка в пространстве имеет три степени свободы. Ее положение определяется соответственно тремя координатами.

Этот результат имеет общий характер: у механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом степеней свободы. Т.е. число степеней свободы и число возможных перемещений всегда совпадают.

4.7.3 Принцип возможных перемещений

Рассмотрим один из принципов механики, устанавливающий условия ее равновесия в инерциальной системе отсчета при наличии стационарных связей.

Введем понятие возможной работы активной силы – это ее работа на возможном перемещении точки: Aa F a r ,

а возможная работа реакции связи N: Ar N r. Введем понятие идеальных связей.

Идеальными связями называем такие, для которых сумма элементарных работ их реакций на возможных перемещениях системы равна нулю, т.е.

Akr 0.

Докажем, что если механическая система с идеальными связями находится в равновесии под действием приложенных сил, то при любом возможном перемещении системы выполняется равенство

Aka 0,

или

Fka rk Fka sk cos k 0,

где k – угол между силой и возможным перемещением.

Для доказательства рассмотрим условие равновесия каждой из точек системы, которые находятся под действием активной силы и реакции связей. В этом случае необходимо

Fk Nk 0,

и, следовательно, сумма работ этих сил на возможном перемещении

Aka Akr 0.

Составив такие равенства для всех точек системы и просуммировав их по всем точкам, получим, что вторая сумма (для работы идеальных связей) равна нулю по определению. Таким образом,

Aka 0,

что и требовалось доказать.

Принцип возможных перемещений

Рассматриваем равновесное состояние системы в некоторой инерциальной системе отсчета, считая при этом все наложенные на систему связи стационарными.

Введем понятие возможной работы как элементарную работу, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным