УП Нелинейные цепи 2011

1

2

3

4

5

6

Em , В

240

225

245

7

ω, рад/с

5200

4900

5300

ψ, iL , i2 , i1

r1 r2 , Ом

100

100

100

ψm , Вб

10-2

10-2

10-2

Em , В

100

120

90

8

ω, рад/с

500

500

500

q, ucb ,

r1 r2 , Ом

1000

1000

1000

i1 , iC

qm , Кл

10-4

10-4

10-4

Em , В

50

60

40

9

ω, рад/с

250

2000

1000

uab , ir , iC ,

r XC , Ом

1000

125

250

q, uac , ucb

qm , Кл

10-5

10-5

10-5

Em , В

120

200

150

0

ω, рад/с

2000

2000

2000

ucb , ψ, uac ,

r XL , Ом

125

100

80

uab , i3 , i2

ψm , Вб

10-2

10-2

10-2

r

2

m

1

e(t)

uL

3

i

m

а

б

Рис. 4.7. Расчетная схема (а) и вебер-амперная характеристика НЭ (б)

Решение. Уравнение цепи

ri

d

E

sin t

(4.29)

dt

m

d

Em sin t;

(4.30)

dt

на участке 2 и 3 i 0;

d

0 и от общего уравнения (4.29) остается

dt

ri Em sin t.

(4.31)

индуктивном элементе u

d

E

sin t и потокосцепление изменяется по

dt

L

m

закону:

E

sin t dt K

Em

cos t K,

(4.32)

m

K

Em

m.

(4.33)

( t )

Em

cos t

Em

m

m

,

(4.34)

1

1

отсюда находим

cos t

1

2 m

(4.35)

1

Em

и значение момента t1

перехода изображающей точки на участок 2.

На интервале t

напряжение на индуктивном элементе u

d

0,

L

1

dt

i

Em

sin t.

(4.36)

r

1)

0

i 0;

3

uL 20sin500t, В

0,04cos500t 0,03, Вб

2)

i 2sin500t, А;

3

0

2

t

ψ i

ψm

0

t1

t

ψm

Рис. 4.8. Графики расчетных величин

1

2

2

I

m

t

1

I

Im sin

t d( t)

(1

1

)

sin2 t1

;

(4.37)

2

t

2

1

2

I

(I

I

)

I

sin

2

1,285 A.

2

3

2

3

63

P

г

f B(n),

(5.1)

г

m

где г – коэффициент, зависящий от материала сердечника;

f – частота в Гц;

Bm – амплитуда магнитной индукции;

n – степень, зависящая от величины Bm .

Потери на вихревые токи выражаются аналогично:

P

в

f 2 B2.

(5.12)

в

m

ri

d об

u.

(5.14)

dt

Общее потокосцепление об

определяется выражением:

об s w ,

(5.15)

где w – число витков катушки.

Так как магнитное сопротивление воздуха постоянное, то

s

Li;

L const.

(5.16)

s

s

Подстановка (5.15) в (5.14)

приводит к уравнению:

Ri L

di

w

d

u,

(5.17)

s dt

dt

или основные гармоники, а также обозначая

w

d

u ,

(5.18)

dt

ф

записываем (5.17) в комплексной форме:

RI j L I U

ф

U.

(5.19)

s

e w

d

,

(5.20)

dt

поэтому вектор Е должен отставать от m

на угол

.

2

щую m

на угол

. Ток катушки I опережает m на угол потерь .

2

66

Ir

Входное напряжение U есть геометриче-

IxS

ская сумма напряжения Uф , которое равно ЭДС

Е и находится с ней в противофазе, падения на-

U

пряжения

в

индуктивном

сопротивлении рас-

Uф

сеяния xs

Ls

(опережает I

на 90°),

падения

Hm

I

Iст

напряжения

в

сопротивлении r

катушки

Bm

Iф

Фm

(совпадает по фазе с I).

Влияние потерь, как видно из векторной

E

диаграммы, сводится к уменьшению угла сдви-

га фаз между напряжением U и током I.

Рис. 5.2. Векторная

Схема замещения.

Векторной диа-

грамме (рис. 5.2)

можно сопоставить схему за-

диаграмма катушки

мещения (рис. 5.3), где gф

реактивная проводи-

r

LS

мость,

учитывающая

параметры

намаг-

ничивания катушки; gст – активная

проводи-

U

Uф

gст

gф

мость, соответствующая потерям в стали.

Наиболее трудной задачей является нахо-

ждение параметров схемы замещения для за-

Рис. 5.3.Схема замещения

данного установившегося режима. Катушка –

нелинейный элемент, поэтому параметры схемы

замещения зависят от величины тока, магнитного потока и для разных режимов

различны.

При низких частотах амплитуду магнитного потока можно найти, приме-

нив рассмотренную уже методику расчета магнитных цепей постоянного тока.

Принимая далее m sin t,

можно найти напряжение Uф :

u

ф

wd

w

m

cos t 2 fw

m

cos t U

m

cos t,

(5.21)

dt

откуда

Uфm 2 fw m, Uф

2 fw m 4,44fw m.

(5.22)

2

Существуют таблицы или кривые, определяющие зависимости удельной

мощности потерь P0

и удельной намагничивающей мощности Q0 от частоты и

магнитной индукции Bm . Зная параметры магнитопровода, по ним можно найти

67

потери P PG и намагничивающую мощность, Q

Q G, где G – масса сер-

ст 0

ст

0

дечника. В то же время

Pст UфIст;

Qст UфIф,

(5.23)

откуда находим

I

ст

Uф

;

I

ф

Uф

.

(5.24)

P

Q

ст

ст

Проводимости gст и bф

связаны с Pст и Qст

формулами:

P U2g

ст

;

Q U

2b .

(5.25)

ст

ф

ст

ф ф

Из (5.25) следует:

g

Pст

;

b

Qст

.

(5.26)

ст

Uф2

ф

Uф2

cos

P

,

arccos

P

.

(5.27)

UI

UI

Потери в стали

P

P I2r,

(5.28)

ст

P

Iф

g

I

U

g

I

I

2

I

2

b

ст

,

,

,

.

(5.29)

Uф

ст

Uф2

ст

ф

ст

ф

ст

ф

Угол потерь можно найти как

arctg

Iст

,

(5.30)

Iф

а угол между U и Uф как разность 90 ( ) (рис. 5.2). Приняв фазу напря-

жения U равной нулю, из уравнения (5.19) можно найти xs Ls

и Ls.

5.3. Трансформатор с ферромагнитным сердечником

Простейшим из этой группы электротехнических устройств является од-

нофазный двухобмоточный трансформатор, схематически изображенный на

рис. 5.4. В практике используются различные трансформаторы, отличающиеся

числом фаз и обмоток, конструк-

i

i2

цией

магнитопроводов,

назначе-

Ф1S

нием

и т. д. Диапазон

мощно-

1

u1

Ф2S

u2

Zпр

стей трансформаторов –

от еди-

ниц ватт до сотен мегаватт.

Ф

Основное

назначение

трансформаторов

обычного

ис-

Рис. 5.4.Схема двухобмоточного

полнения – преобразование токов

трансформатора

и напряжений по амплитуде при

заданных частотах. Так же, как и у катушки с сердечником, нелинейность

трансформатора является нежелательным свойством.

Параметры и уравнения

трансформатора.

Расчетная модель

рассматриваемого трансформатора предполагает разделение общего магнитно-

го потока на три составляющие: основной магнитный поток Ф, поток рассеяния

первичной (входной) обмотки 1S , поток рассеяния вторичной обмотки

2S .

Поток Ф сцеплен с обеими обмотками. Электрическая связь между ними отсут-

ствует, и энергия передается магнитным путем через основной поток Ф.

Пусть u1, i1, r1, w1 – параметры первичной обмотки, u2, i2, r2, w2 – вто-

ричной. Приемник электрической энергии Zпр подключается ко вторичной об-

мотке.

69