УП Нелинейные цепи 2011

Рассматривается цепь (рис. 4.2, а), содержащая диод и катушку без сер-

дечника, замещаемую параметрами r и L. Характеристику диода (см. рис. 1.1, в)

заменяем кусочно-линейной характеристикой (рис. 1.5, б) с прямым сопротив-

лением rпр const и обратным – rобр

сдиодом (б) и тиристором (в)

Вотличие от схемы рис. 1.5, а ток здесь из-за наличия индуктивности не может быть найден только графическим построением. На рис. 4.2,б приведена качественная картина процессов в схеме рис. 4.2, а, из которой следует, что им-

пульс тока по форме и ширине отличается от полупериодного напряжения. В

зависимости от соотношения между L и r он может иметь ширину от Т/2 до Т.

Теоретически величина Т достигается при r 0, то есть в чисто индуктивной цепи.

Диод пропускает ток на первом интервале 0 t t1 . В момент t1 он за-

пирается, и на втором интервале ток и выпрямленное напряжение uab равны нулю. Открытие диода происходит в моменты перехода напряжения через нуль,

и далее описанная картина повторяется. Исследование установившегося режи-

ма в этом случае сводится к расчету тока на первом интервале и определению неизвестного момента t1.

Дифференциальное уравнение:

50

В проводящем состоянии напряжение диода

поэтому после подстановки (4.9) в (4.8) получим:

где rэ r rпр;

rпр – сопротивление диода в прямом направлении.

Решение (4.10) имеет вид:

По выражению (4.12) можно построить кривую тока в интервале 0, t1 .

Момент t1 определится как точка пересечения этой кривой с осью времени. Если построение кривой тока не требуется, то решается трансцендентное уравнение:

ние можно графически или каким-либо из численных методов.

В интервале t1, T диод заперт.

Зная t1 и используя (4.12), по известным формулам можно найти гармо-

нический состав выпрямленного напряжения uab и тока i. Постоянные состав-

ляющие этих функций:

51

Высшие гармоники:

Если диод в схеме рис. 4.2, а заменить тиристором, то начало импульса тока будет определяться углом управления (рис. 4.2, в) и в формулах (4.15) и

(4.16) нижний предел интегралов должен соответствовать моменту t0 , так

как начало кривой тока запаздывает относительно напряжения.

В настоящее время вентильные цепи более сложной структуры, вклю-

чающие управляемые и неуправляемые полупроводниковые элементы, находят широкое применение в области преобразовательной техники. При исследовании процессов в них применяется в основном кусочно-линейная аппроксимация.

4.2. Использование принципа гармонического баланса

Суть принципа гармонического баланса состоит в том, что искомая вели-

чина представляется в виде периодической функции с неизвестными коэффи-

циентами и подставляется в уравнение цепи. Неизвестные определяются при-

равниванием коэффициентов при одинаковых гармониках в левой и правой

52

Предполагаем, что решение содержит только основную гармонику:

Задача сводится к нахождению амплитуды Im в (4.18) и фазы прило-

женного напряжения. Можно неизвестную фазу ввести в выражение тока (4.18),

но в этом случае преобразования усложняются.

Дифференциальное уравнение:

Um cos sin sin cos ,

ив соответствии с принципом гармонического баланса приравниваем коэффи-

Уравнения (4.25) являются трансцендентными, так как находится под

знаком синуса и косинуса. Решение их ручным способом сводится к следую-

53

щему. По данным первого уравнения рассчитывается зависимость f1(Im), а

по второму – f2(Im). Эти зависимости изображаются на одном графике в координатах и Im . Находится точка пересечения, которая и определяет иско-

мые значения и Im . Более точное решение таких уравнений осуществляется на основе какой-либо итерационной процедуры.

Решение (4.18) можно в случае необходимости рассматривать как первое приближение. После введения еще одной гармоники расчет повторяется, при этом уточняются , Im и находятся параметры добавленной гармоники; труд-

ности решения задачи для двух гармоник значительно возрастают, так как вме-

сто двух появляется четыре неизвестных и, как следствие, – система из четырех уравнений.

4.3. Метод эквивалентных синусоид

Если хотя бы один НЭ в цепи является безынерционным, то периодические токи и напряжения в цепи будут содержать высшие гармоники, даже если при-

ложенное к зажимам цепи напряжение синусоидальное. Пусть характеристика НЭ, изображенная на рис. 4.4, а, выражается уравнением i au3. При синусои-

дальном изменении напряжения ток будет:

т. е. он содержит третью гармонику.

На рис. 4.4, б изображены во времени кривые тока и напряжения. Кривую тока i(t) можно было бы построить графически по точкам, пользуясь харак-

теристикой u(t). Уже из этого примера видно, что ток и напряжение на безы-

нерционном элементе не могут быть одновременно синусоидальными. В случае сложной цепи расчет оказывается весьма сложным, так как использование ком-

плексной формы записи и векторных диаграмм оказывается невозможным, и

необходимо вести расчет для мгновенных значений, причем в силу нелинейно-

сти цепи неприменим и принцип наложения.

В тех случаях, когда вопрос о форме кривых токов и напряжений нас не-

посредственно не интересует, можно воспользоваться приближенным методом,

основанным на замене действительных несинусоидальных кривых тока и на-

54

пряжения, эквивалентными им синусоидами. Соответственно такой метод можно назвать методом эквивалентных синусоид.

u i

а б

Рис. 4.4. ВАХ (а) и зависимости напряжения и тока от времени (б) НЭ

Смысл введения этого метода заключается в возможности записи уравне-

ний в комплексной форме, а также в построении векторных диаграмм, хотя комплексные сопротивления остаются зависящими от тока, а следовательно,

алгебраические, уравнения записанные в комплексной форме, остаются нели-

нейными.

Выбор эквивалентных синусоид тока и напряжения, т. е. их амплитуд и начальных фаз, может быть осуществлен тем или иным способом, в зависимо-

сти от поставленной задачи. Интересуясь энергетической стороной процесса,

этот выбор целесообразно осуществить так, чтобы активная мощность в цепи или в той или иной части цепи, оставалась без изменения. Например, если мы желаем,

чтобы активная мощность на НЭ, характеристика которого приведена на

рис. 4.4, а, при синусоидальном напряжении на этом элементе осталась неизмен-

ной после замены несинусоидальной кривой тока эквивалентной ей синусоидой,

то в этих условиях эквивалентной синусоидой должна быть первая гармоника то-

ка, так как при этом имеем:

Иногда может оказаться целесообразным выбрать амплитуду эквивалент-

ной синусоиды тока или напряжения так, чтобы сохранялось их действующее

55

значение. Например, это целесообразно, когда последовательно включены ли-

нейное активное сопротивление r с нелинейной индуктивной катушкой без по-

терь. В таком случае несинусоидальный ток i(t) в катушке имеет смысл заменить синусоидой, эквивалентной ему по действующему значению, т. е. выбрать ам-

плитуду эквивалентной синусоиды равной

Действительно, при этом активная мощность в линейном активном со-

противлении r, равная I2r , остается без изменения.

Метод эквивалентных синусоид находит применение при расчете, перио-

дических процессов в нелинейных радиотехнических устройствах. При этом в ка-

честве эквивалентной синусоиды применяют первые гармоники тока и напряже-

ния, так как именно на их частоту настраивают резонансные контуры, в которых токи и напряжение в основном и определяются первыми гармониками.

Широкое использование метод эквивалентных синусоид находит при расчете устройств, содержащих ферромагнитные сердечники, например транс-

форматоров. В связи с этим метод рассмотрен более подробно в применении к ре-

активным катушкам и трансформаторам с ферромагнитными сердечниками.

4.4. Самостоятельная работа № 3 по расчету электрической цепи

методом кусочно-линейной аппроксимации

4.4.1. Задание на самостоятельную работу № 3

Электрическая цепь (рис. 4.5) содержит источник синусоидального тока j(t) Im sin t или источник синусоидальной ЭДС e(t) Em sin t. В цепи име-

ется емкость Cн с нелинейной кулон-вольтной характеристикой, представлен-

ной на рис. 4.6, а, или индуктивность Lн с нелинейной вебер-амперной харак-

теристикой, представленной на рис. 4.6, б.

Номер расчетной схемы на рис. 4.5 выбирается в соответствии с послед-

ней цифрой шифра (для студентов очного обучения шифром является номер по списку преподавателя). Исходные данные для расчета приведены в табл. 4.1 и

выбираются для каждой схемы по двум последним цифрам шифра.

Требуется рассчитать и построить зависимости напряжений, токов, заря-

дов, потокосцеплений, указанных в последнем столбце табл. 4.1, в функции t.

56

qm m

а б

Рис. 4.6. Нелинейные характеристики: кулон-вольтная (а), вебер-амперная (б)

Т а б л и ц а 4.1 Исходные данные для самостоятельной работы № 3

58

59