УП Нелинейные цепи 2011

Требуется выполнить следующее:

1.Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для магнитной цепи.

2.Определить магнитные потоки и индукции в стержнях.

Рис. 3.10. Расчетная схема разветвленной магнитной цепи

Таблиц а 3.7

Зависимость для основной кривой намагничивания стали 1211

Решение

1. Разбиваем магнитную цепь на участки одинакового материала и равно-

го сечения. Длины участков определяем по средней линии:

42

Из полученных уравнений выразим напряжение UMmn

2. Необходимо построить характеристики для каждой ветви магнитной

цепи:

С этой целью задаемся значениями магнитной индукции на участках в пределах B 0 1,7 Тл,определяем магнитные потоки Ф= B S, напряженности магнитного поля H – по кривой намагничивания (см. табл. 2) и магнитные на-

пряжения UMmn. Результаты вычислений сводим в табл. 3.8 – 3.10.

43

Таблиц а 3.8

Результаты вычислений для первого участка

44

Решение для магнитных потоков, удовлетворяющее уравнению

Ф1 Ф2 Ф3, находим графически. Для этого строим вспомогательную кривую

Ф2 Ф3 f (UMmn) (см. рис. 3.12), суммируя ординаты кривых Ф2(UMmn) и

Ф3(UMmn), и находим точку пересечения ее с кривой Ф1(UMmn).

Абсцисса точки с определяет значение UMmn,ординаты точек c, d, e – со-

ответственно значения магнитных потоков Ф1, Ф2, Ф3.

Магнитные индукции на участках цепи, Тл: B1 Ф1 1,61; В2 = В02 = 0,99;

S1

В3 = В03 = 0,62.

45

4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Нелинейные цепи описываются нелинейными дифференциальными урав-

нениями, к которым неприменим принцип наложения, и решение не может быть представлено как сумма принужденной и свободной составляющих. Если все элементы цепи сосредоточенные, то уравнения относятся к классу обыкно-

венных дифференциальных уравнений. Тип дифференциального уравнения за-

висит от способа аппроксимации нелинейных характеристик и вида НЭ в схеме.

Существуют различные способы расчета нелинейных электрических цепей.

4.1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Характеристики НЭ, как уже указывалось, определяются эксперимен-

тально. Их непосредственное использование возможно при графических спосо-

бах расчета нелинейных цепей. Если исследование производится аналитиче-

ским или численным методом, то требуется аппроксимация (представление)

нелинейных характеристик математическими выражениями. Сложные характе-

ристики трудно или невозможно аппроксимировать единым выражением, по-

этому используется аналитическая аппроксимация отдельных участков или так называемая кусочно-линейная аппроксимация.

Основными критериями при выборе аппроксимирующего выражения яв-

ляются следующие:

а) точность представления заданной нелинейной характеристики;

б) степень сложности, вносимая в решение задачи выбранным типом ап-

проксимации.

Аналитическое выражение, аппроксимирующее характеристику НЭ, оп-

ределяет тип, а следовательно, и особенности решения нелинейных уравнений.

4.1.1. Аппроксимация степенным полиномом

Аппроксимация характеристик НЭ может осуществляться с помощью степенного ряда, показательной, тригонометрических, гиперболических и дру-

гих функций. Наиболее часто применяется аппроксимация степенными полино-

мами вида

Эти полиномы при большом количестве членов достаточно точно ап-

проксимируют нелинейную характеристику. Но при этом возрастает сложность расчетов. Поэтому, как правило, в (4.1) и (4.2) берут ограниченное количество членов.

Для нахождения коэффициентов ak или bk может быть использовано не-

сколько способов. Простейший из них состоит в следующем.

На исходной кривой выбирается столько точек, сколько коэффициентов входит в аппроксимирующее выражение (4.1) или (4.2). Пусть

В этом случае на характеристике НЭ выбираются три точки с координа-

тами i1,u1;i2,u2;i3,u3. Для каждой из них записывается (4.3) и формируется система уравнений:

Решение (4.4) дает коэффициенты a1, a2, a3 .

При данном способе совпадение исходной характеристики и аппроксими-

рующей функции гарантируется только в выбранных точках. Чем ближе распо-

ложены точки, тем точнее представляется участок между ними. Поэтому наи-

лучшие результаты могут быть получены, если, например, (4.4) описывает не всю кривую, а только рабочий ее участок, когда таковой можно знать априорно,

то есть до решения задачи.

Кроме рассмотренного способа, применяется еще приближение в среднем и в квадратичном смысле. В последнем случае применяется метод наименьших

квадратов.

Примером использования полиномиальной аппроксимации характеристи-

ки НЭ может служить анализ кривой тока цепи при синусоидальном приложен-

ном напряжении.

Если к НЭ, характеристика которого аппроксимирована полиномом

третьей степени, подвести синусоидальное напряжение u Um sin t, то выра-

жение для тока будет иметь вид:

47

Следовательно, ток содержит постоянную составляющую и гармоники час-

тот, кратных частоте приложенного синусоидального напряжения, причем наи-

высший коэффициент кратности равен степени аппроксимирующего полинома.

Приведенные выражения показывают, что постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник тока зависят только от коэффициентов при четных степенях.

4.1.2. Метод кусочно-линейной аппроксимации

Суть этого метода состоит в том, что характеристика НЭ заменяется ло-

маной линией, состоящей из отрезков прямых. В пределах линейного участка

пример, рис. 4.1), то для расчета процессов в

характеристики НЭ

48

цепи можно воспользоваться нижеследующим методом.

В отдельные интервалы времени, пока во всех элементах цепи процессы находятся на определенных прямолинейных отрезках их характеристик, про-

цесс во всей цепи описывается совокупностью линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых определяются параметрами этих линейных отрезков характеристик.

При переходе процесса в любом НЭ через точку излома характеристики

(точки а и b на рис. 4.1), изменяются параметры уравнений. Назовем момент ка-

ждого такого перехода моментом коммутации. Процесс за весь рассматривае-

мый промежуток времени, разбивается на интервалы, заключенные между дву-

мя любыми соседними моментами коммутации. Решения совокупности уравнений внутри каждого интервала содержат некоторое количество своих произвольных постоянных. Эти произвольные постоянные определяются из физических усло-

вий неизменности токов в индуктивных катушках и напряжений на конденса-

торах в моменты коммутации, т. е. путем сопряжения решений, полученных для двух смежных интервалов. Соответственно этот метод можно назвать методом с о п р я ж е н ия интервалов. Подлежат определению также моменты ком-

мутации из условий, что ток или напряжение достигает значения, соответст-

вующего точке излома характеристики.

Периодические процессы повторяются через период Т, и поэтому доста-

точно произвести расчет процессов в течение одного периода, используя усло-

вия, что значения токов в катушках и напряжений на конденсаторах одинаковы в начале и в конце периода. В случае симметричных многофазных цепей про-

цесс может повторяться за промежутки, составляющие целую долю периода.

Такой промежуток можно назвать и н т е р ва л ом повторяемо сти процесса. Очевидно, при этом достаточно произвести расчет в пределах интер-

вала повторяемости.

Метод сопряжения интервалов с успехом может быть применен, когда ха-

рактеристики нелинейных элементов состоят из отрезков близких к прямоли-

нейным, например, в случае элементов с ферритами, обладающими прямо-

угольной кривой намагничивания. Он широко используется для расчета цепей с полупроводниковыми вентилями.

Для примера рассмотрим расчет установившегося режима в вентильной

цепи.

49