- •Математика
- •§1. Неопределенный интеграл.
- •1.1. Понятие неопределенного интеграла.
- •1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
- •1.3. Интегрирование с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции
- •1.4 Замена переменной (или подведение под знак дифференциала)
- •1.5. Интегрирование по частям
- •§2. Определенный интеграл
- •§3. Дифференциальные уравнения 1 – го порядка
- •3.1. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
- •3.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§4. Дифференциальные уравнения 2 – го и 3 – го порядков
- •. Линейные дифференциальные уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью двух типов
- •Нахождение общего решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной частью 1 – го типа
- •4.5. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной частью 2 – го типа
- •§5. Функции двух переменных
- •5.1. Частные производные функции двух переменных
- •5.2. Производная по направлению функции двух переменных
- •5.2. Производная по направлению функции двух переменных. Градиент функции двух переменных.
- •5.3. Экстремумы функции двух переменных
§4. Дифференциальные уравнения 2 – го и 3 – го порядков
Сведения из теории
Рассмотрим дифференциальные уравнения более высоких порядков. Они получаются тогда, когда к зависимости от предъявляется больше требований. Общий вид уравнений 2 – го порядка . Общий вид уравнений 3 – го порядка .
Дифференциального уравнения 2 – го и 3 – го порядков, допускающие понижение порядка.
Дифференциальных уравнений 2 – го и 3 – го порядков много и решаются все они по-разному. Сейчас мы рассмотрим те из них, порядок которых можно понизить до первого.
Пример 20. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.
; ; ; ; .
Решение . Очевидно, что . Сделаем замену . Тогда исходное дифференциальное уравнение 3 – го порядка относительно неизвестной функции примет вид - дифференциальное уравнение 1 – го порядка относительно неизвестной функции . Это и есть понижение порядка уравнения до первого. Решить его – это значит найти все функции , производные которых равны . А это значит найти неопределенный интеграл .
, где .
Начнем решать задачу Коши, вспомнив, что :
. Тогда .
Учитывая, что , опять сделаем замену: (можно даже не придумывать новую букву для замены). После замены получим новое дифференциальное уравнение 1 – го порядка: . Найдем его общее решение:
, где .
Продолжим решать задачу Коши, вернувшись от к :
.
Получим , следовательно, . Третье интегрирование даст нам окончательное решение:
, где .
Закончим решение задачи Коши:
.
Наконец окончательное решение задачи Коши примет вид:
.
Вычислим на калькуляторе: .
Замечание. Возможно, схема решения станет более очевидной, если оформить ее короче.
,
,
,
.
Итак, функция, являющаяся решением данного дифференциального уравнения и удовлетворяющая указанным начальным данным найдена. Осталось найти её значение при х0 = .
Ответ: Решение задачи Коши – функция .
. Линейные дифференциальные уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью двух типов
Сведения из теории
Общий вид таких уравнений:
,
где - независимая переменная, - неизвестная функция от переменной , - какая-то конкретная функция от , -- числа. Если функция , то уравнение называется однородным, а если , то неоднородным. Для решения прикладных задач важны два специальных типа правой части .
Первый тип: , где - конкретный многочлен степени n . Многочлен может быть как полным (содержать все степени от n до 0), так и неполным (обязательно содержать , а остальные степени могут отсутствовать).
Второй тип: . Очевидно, что в общем виде он выглядит страшновато. Мы рассмотрим только его простой частный случай, а именно: , где А и В – конкретные числа, а параметр имеет какое-то конкретное числовое значение.
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения такова:
.
Поясним: - это общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному. Однородное дифференциальное уравнение получается из неоднородного заменой правой части на ноль. Далее, - это какое-то одно частное решение исходного неоднородного уравнения.