- •Математика
- •§1. Неопределенный интеграл.
- •1.1. Понятие неопределенного интеграла.
- •1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
- •1.3. Интегрирование с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции
- •1.4 Замена переменной (или подведение под знак дифференциала)
- •1.5. Интегрирование по частям
- •§2. Определенный интеграл
- •§3. Дифференциальные уравнения 1 – го порядка
- •3.1. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
- •3.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§4. Дифференциальные уравнения 2 – го и 3 – го порядков
- •. Линейные дифференциальные уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью двух типов
- •Нахождение общего решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной частью 1 – го типа
- •4.5. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной частью 2 – го типа
- •§5. Функции двух переменных
- •5.1. Частные производные функции двух переменных
- •5.2. Производная по направлению функции двух переменных
- •5.2. Производная по направлению функции двух переменных. Градиент функции двух переменных.
- •5.3. Экстремумы функции двух переменных
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
Математика
Методические указания и контрольные задания
для студентов заочной ускоренной формы обучения
строительных специальностей (группы ЗПГС-11, ЗСА-11, ЗСТ-11)
(2 семестр)
Факультет инженерно-строительный
Для всех специальностей
Вологда 2012
УДК: 511.147:511.61/62
Математика: методические указания и контрольные задания для студентов заочной ускоренной формы обучения строительных специальностей (2 семестр). Вологда: ВоГТУ, 2012.
Составители: Н.В. Степанова, канд. физ.-мат. наук, доцент
Рецензент:
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживать указанных ниже правил:
Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, в двойном номере которого вторая цифра совпадает с последней цифрой его шифра - номера его зачетной книжки. Если номер заканчивается цифрой 0, то студент должен выполнять вариант №10.
Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клеточку чернилами синего или черного цвета.
Образец оформления титульного листа (обложки) тетради приведен на доске объявлений деканата ФЗДО.
В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.
Задачи нужно решать в том порядке, в котором они указаны в контрольной работе.
Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи (рисунки).
Компьютерное оформление работы не рецензируется.
Возвращенная прорецензированная незачтенная работа исправляется студентом; исправление записывается в конце работы. Вносить исправления в проверенный текст работы - запрещается.
Введение
Настоящие методические указания служат руководством для студентов заочников при выполнении контрольных заданий, запланированных во 2 учебном семестре. С их помощью студент - заочник сможет самостоятельно разобраться в основных типах задач и справиться с выполнением контрольных заданий.
§1. Неопределенный интеграл.
1.1. Понятие неопределенного интеграла.
Сведения из теории
Для начала вспомним задачу дифференцирования: дана функция . Найти новую производную функцию .
Теперь будем решать обратную задачу: дана функция . Считаем ее производной функцией от другой функции . Нужно найти формулу этой функции .
Определение Функция называется первообразной для функции
, если .
Первообразная функция обладает двумя свойствами.
Свойство 1. Если какая-то конкретная функция является первообразной для функции , то любая функция вида , где также является первообразной для функции .
Свойство 2. Пусть найдены две первообразных функции и для одной и той же функции . Какими бы разными по виду они ни были, их можно преобразовать так, что они будут отличаться только на конкретную константу , т.е. .
Из этих двух свойств получается важное следствие.
Чтобы найти все первообразные функции для функции , достаточно найти какую-нибудь одну первообразную и прибавить к ней произвольную константу . Полученное бесконечное множество первообразных функций и называется неопределенным интегралом от функции .
Фраза «Неопределенный интеграл от функции » записывается символами . Тогда понятие неопределенного интеграла символьно записывается равенством
, где -- какая - то одна первообразная для
функции , а .
Запомните термины:
-- подынтегральная функция,
-- подынтегральное выражение,
-- переменная интегрирования.