Вопрос №4. Характеристика электрического поля: напряжённость и потенциал, связь между ними.

Вокруг заряда всегда есть электрическоеполе, основное свойство которого заключается в том, что на всякий другой заряд, помещенный в это поле, действует сила.Напряжённость электрическогополя — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке. Силовой характеристикой поля создаваемого зарядомqявляется отношение силы действующей на заряд к величине этого заряда называемоенапряженностью электростатического поля, т.е.

В ектор напряженности электростатического поля равен силе, действующей в данной точке на помещенный в нее пробный единичный положительный заряд.

Единица измерения напряженности электростатического поля – ньютон на кулон(Н/Кл).

1Н/Кл – напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 н.

Потенциал электрического поля.

Электростатический потенциал — скалярнаяэнергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала является, таким образом, единица измерения работы, деленная на единицу измерения заряда (для любой системы единиц; подробнее о единицах измерения — см. ниже).Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Связь между потенциалом и напряжённостью.

НапряженностьЕ поля равна градиенту потенциала со знаком минус, для этого рассмотрим пример: Работа по перемещению единичного точечного положительного электрического заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х равна E_xdx. Та же работа равна φ₁—φ₂=dφ. Приравняв обе формулы, запишем:

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование осуществляется только по х. Повторив эти рассуждения для осей у и z, найдем вектор Е:

где i, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z. Из определения градиента следует, что

.

Вопрос №5 принцип суперпозиции для электрических полей

принцип суперпозиции для электрических полей полностью равносильны уравнениям Максвелла для электростатики   и  . То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей

Вопрос №6 Электрическое поле

ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ (ЭП) называется то, что существует в области пространства, в которой на электрически заряженную частицу действует сила, называемая электрической (кулоновской).

ИСТОЧНИКОМ ЭП являются электрически заряженные частицы.

ЗАРЯДОМ (электрическим) называется особая характеристика объекта, определяющая его способность создавать ЭП и взаимодействовать с ЭП. Часто «зарядом» называют заряженную частицу, а «точечным зарядом» - материальную точку, имеющую электрический заряд.

Основные СВОЙСТВА электрического заряда:

1. Заряд ИНВАРИАНТЕН – его величина одинакова при измерении в любой инерциальной системе отсчета.

2. Заряд СОХРАНЯЕТСЯ – суммарный заряд изолированной системы тел не изменяется.

3. Заряд АДДИТИВЕН – заряд системы тел равен сумме зарядов отдельных тел.

4. Заряд ДИСКРЕТЕН – заряд любого тела по величине кратен минимальному заряду, который обозначается символом е и равен 1.6 10^-19 Кл.

5. Существуют заряды ДВУХ разных «сортов». Заряды одного «сорта» названы положительными, а другого «сорта» -отрицательными. Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются.

Если вблизи одной заряженной частицы (заряда Q₁), расположенной в начале координат, будет находиться вторая заряженная частица (заряд Q₂), то на второй заряд будет действовать электрическая (кулоновская) , определяемая законом Кулона:  где - радиус-вектор точки наблюдения,  - единичный радиус-вектор, направленный в точку наблюдения, ₀ – электрическая постоянная,  - диэлектрическая проницаемость среды (в вакууме = 1).

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ – характеристика силового действия ЭП на заряд. Напряженность ЭП,создаваемого зарядом Q₁ , есть векторная величина, обозначаемая символом (Q₁) и определяемая соотношением , где  - сила, действующая на заряд Q₂.

ЛИНИЯ ЭП – линия, в любой точке которой вектор напряженности ЭП направлен по касательной к ней.

ЭП подчиняется ПРИНЦИПУ СУПЕРПОЗИЦИИ: напряженность ЭП нескольких источников является суммой векторов напряженности поля, создаваемого независимо каждым источником .

ПОТОКОМ ЭП называется интеграл по некоторой поверхности S от скалярного произведения напряженности ЭП на элемент поверхности: , где вектор  направлен по нормали к поверхности.

ЗАКОН ГАУССА ДЛЯ ЭП:

ПОТОК ЭП через замкнутую поверхность S₀ пропорционален суммарному ЗАРЯДУ, расположенному внутри объема, ограниченного поверхностью интегрирования потока V(S₀):

.

Линии напряженности электрического поля точечного заряда представляют собой прямые линии, идущие от заряда (положительного) или к заряду.

ПОТЕНЦИАЛОМ данной точки  ЭП называется скалярная характеристика ЭП, численно равная работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в другую фиксированную точку ₀, в которой потенциал принят за 0 (например, в бесконечность): .

Уравнение, выражающее напряженность через потенциал: ,

где оператор градиента grad

ДИПОЛЬ есть два одинаковых по величине, но противоположных по знаку точечных зарядов Q, расположенных на расстоянии L (L — плечо диполя).

ДИПОЛЬНЫЙ (ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ) МОМЕНТ есть произведение . Вектор направлен от отрицательного к положительному заряду.

Напряженность ЭП диполя вычисляется с использованием принципа суперпозиции для ЭП. Как видно из рисунка, а для суммарной силы получим .

На линии, проходящей через центр диполя, перпендикулярно электрическому моменту, и на большом расстоянии r от его центра:

Вопрос №9 Напряженность и потенциал однородно заряженной плоскости, бесконечного проводника и бесконечных разноименно заряженных плоскостей.

Бесконечная плоскость заряжена с поверхностной плотностью зарядов s=dq/dS. Линии

напряженности перпендикулярны плоскости и направлены в обе стороны от плоскости. В

качестве замкнутой поверхности выберем поверхность цилиндра, основания которого

параллельны бесконечной плоскости, а ось цилиндра ^ плоскости.

Т.к. образующие цилиндра параллельны линиям напряженности( a=0,cosa=1), то поток

вектора напряженности сквозь боковую поверхность равен 0, а полный поток сквозь

цилиндрическую поверхность равен сумме потоков сквозь его основания. Для основания: Еn =

E. Заряд, заключенный внутри построенной замкнутой поверхности, равен: s Sосн. Отсюда

численная величина потока равна:

ФЕ = Е 2 Sосн. . По теореме Гаусса: ФЕ = q/ε₀ = σ*Sосн / ε₀ , тогда: E=q*S_осн/2 ε₀ = σ/2 ε₀ Вывод: НЭСП, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью, равна

E=S/2 ε₀, не зависит от длины цилиндра и на любых расстояниях от плоскости одинакова по

модулю. Поле равномерно заряженной плоскости однородно.

тогда

Где, – напряженность электростатического поля между заряженными плоскостями

σ = q/S – поверхностная плотность заряда.

Чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение

При x₁ = 0 и x₂ = d

На рисунке изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями.

С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что

Вопрос №10. Напряженность и потенциал сферы, шара.

Напряженность поля сферы определяется формулой

А т.к. , то

Имеем диэлектрический шар заряженный с объемной плотностью

Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:

Потенциал шара:

Вопрос №11

Силовые линии разделяют на распределительные, непосредственно питающие один или несколько ЭП, и питающие, которые питают группу электроприемников, но непосредственно к ним не подключаются.

Сечение по допустимому нагреву выбирают по условию:

, (66)

где – максимальный рабочий (расчетный) ток нагрузки, А; – длительно допустимый ток, А; – поправочный коэффициент, учитывающий реальные условия охлаждения проводника и зависящий от температуры окружающей среды и способа прокладки.

За расчетный ток нагрузки линии, питающей одиночный электроприемник, принимается номинальный ток нагрузки этого ЭП:

, А. (67)

Для линии, питающей многодвигательный агрегат с одновременным пуском электродвигателей, расчетный ток нагрузки равен сумме номинальных токов двигателей:

, А. (68)

Вопрос №12 Как выражается работа электрического заряда в электростатическом поле.

Вопрос №13 Потенциал электростатического поля

Электрическое поле, создаваемое системой неподвижных электрических зарядов обладает свойством потенциальности: работа электрического поля по перемещению постоянного точечного заряда вдоль замкнутого контура равна нулю.

Рассмотрим электрическое поле одиночного точечного электрического заряда  :

,

(1.17)

где  - вектор, проведенный из точки расположения заряда   в точку наблюдения,   - модуль вектора  . Если в точке наблюдения помещен точечный заряд  , то по определению понятия "напряженность электрического поля" имеем

,

(1.18)

где   - сила, действующая на точечный заряд   со стороны электрического поля  . Располагая зависимостью (1.18), легко написать выражение для элементарной работы   по перемещению заряда   из точки М₁, описываемой вектором  , в соседнюю точку М₂, описываемую вектором  :

.

(1.19)

Элементарное смещение   заряда   можно разложить на составляющую  , параллельную вектору  , и на составляющую  , перпендикулярную вектору   (рис. 1.4):

Вопрос№14 Безвихревой характер электростатического  поля

Работа, совершенная силами  поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 определяется как

.

Работа сил поля вдоль замкнутой кривой равна нулю. Для этого необходимо доказать, что циркуляция вектора Е равна нулю

.

В случае  точечного заряда

Так  как        а     то   .

Пользуясь теоремой Стокса

Получаем

Это соотношение выражает основное свойство электростатического поля - оно безвихревое.

Вопрос №15 Проводники в электростатическом поле

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение: положительные в направление вектора , отрицательные в противоположную сторону. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами (рис. 5.1).

Рис. 5.1

В металлических проводниках подвижными носителями заряда являются электроны, заряд которых является отрицательным. Поэтому электроны устремляются в направлении, противоположном направлению вектора . В результате на другом конце проводника индуцируются положительные заряды (вследствие недостатка электронов). Поле возникших зарядов направлено противоположно внешнему полю. Таким образом, накапливание зарядов у концов проводника приводит к ослаблению в нем поля. Перераспределение носителей заряда происходит до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника перпендикулярными к его поверхности (рис. 5.1). Следовательно, нейтральный проводник, внесенный в электрическое поле разрывает часть линий напряженности – они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных.

Индуцированные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее также обращается в нуль. На этом основывается электростатическая защита. Когда какой – то прибор необходимо защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим футляром (экраном). Внешнее поле компенсируется индуцированными зарядами. Подобный экран действует хорошо и в том случае, если его сделать не сплошным, а в виде густой сетки.

Таким образом, при внесении незаряженного проводника во внешнее электростатическое поле на поверхности проводника индуцируются заряды. Суммарный заряд проводника равен нулю.

Равновесие зарядов на проводнике может наблюдаться лишь при выполнении следующих условий:

1. Напряженность электрического поля внутри проводника должна быть равна нулю.

=0 (1)

В соответствии с формулой (33) это означает, что потенциал внутри проводника и на его поверхности должен быть постоянным ( )

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть направлена по нормали к поверхности, т.е.

(2)

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной.

Можно доказать это последнее утверждение формально: проведем внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S, ограничив некоторый объем внутри проводника. Тогда, согласно теореме Остроградского-Гаусса, суммарный заряд q этого объема равен нулю

, так как E = 0.

3. Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия заряда. Это означает, что ни в каком месте внутри проводника и на его поверхности избыточные заряды располагаться не могут, так как одноименные заряды, образующие данный заряд q, взаимно отталкиваются и стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга. В заряженном проводнике некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности (их расталкивают кулоновские силы).

Рассмотрим поле, создаваемое изображенным на рис. 5.2 заряженным проводником. На больших расстояниях от проводника эквипотенциальные поверхности имеют характерную для точечного заряда форму сферы. По мере приближения к проводнику эквипотенциальные поверхности становятся все более сходными с поверхностью проводника, которая является эквипотенциальной. Вблизи выступов эквипотенциальные поверхности располагаются гуще, значит и, напряженность поля здесь больше. Отсюда следует, что плотность зарядов на выступах должна быть наибольшей. К такому же выводу можно прийти, учтя, что из–за взаимного отталкивания заряды стремятся расположиться как можно дальше друг от друга.

Покажем, что напряженность поля, созданного заряженным проводником вблизи его поверхности пропорциональна поверхностной плотности заряда. Выделим на поверхности Sпроводника площадку dS и построим на ней цилиндр с образующими, перпендикулярными к площадке dS, высотой dl .

На поверхности проводника вектор напряженности поля и вектор электрического смещения перпендикулярны поверхности. Поэтому поток сквозь боковую поверхность равен нулю.

Поток вектора электрического смещения через тоже равен нулю, так как лежит внутри проводника, где и, следовательно, . Отсюда следует, что поток сквозь замкнутую поверхность равен потоку через :

С другой стороны, по теореме Остроградского-Гаусса:

гдеσ – поверхностная плотность зарядов на dS. Из равенства правых частей следует, что , тогда

. (3)

И так, напряженность поля вблизи поверхности заряженного проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности зарядов.

Поверхностная плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности – она растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости).

Поэтому вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже (рис. 5.3). Соответственно напряженность поля и плотность зарядов в этих местах будет меньше.

На острие плотность заряда наибольшая,

поэтому напряженность электростатического поля максимальна на острие заряженного проводника.

Так как на остриях велика плотность заряда, поэтому напряженность поля вблизи острия может быть настолько большой, что возникает ионизация молекул газа, окружающего проводник. Ионы иного знака, чем q, притягиваются к проводнику и нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака, что и q, начинают двигаться от проводника, увлекая с собой нейтральные молекулы газа. В результате возникает ощутимое движение газа, называемое электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия и уносится ветром. Такое явление называют истечением заряда с острия (электростатический ветер).

Большая напряженность поляEна остриях – нежелательное явление, т.к. происходит утечка зарядов и ионизация воздуха.Ионы уносят электрический заряд, проводник разряжается

Есть наглядные эксперименты по этому явлению: сдувание пламени свечи электрическим ветром, колесо Франклина или вертушка, электростатический двигатель.

Таким образом, на заряженном проводнике заряды распределяются по его поверхности.

Если заряженный металлический шарик привести в соприкосновение с поверхностью какого-либо проводника, то заряд шарика частично передается проводнику: шарик будет разряжаться до тех пор, пока их потенциалы не выровняются. Иначе обстоит дело, если шарик привести в соприкосновение с внутренней поверхностью полого проводника. При этом весь заряд с шарика стечет на проводник и распределится на внешней поверхности проводника (рисунок).

Потенциал полого проводника может быть больше, чем потенциал шарика, тем не менее, заряд с шарика стечет полностью. В точке 1 потенциал шарика меньше потенциала проводника ( ),но пока мы переносили шарик в полость, мы совершили работу по преодолению сил отталкивания и, тем самым увеличивая потенциальную энергию, увеличили потенциал шарика. То есть, когда мы вносим шарик, потенциал его становится больше, и заряд как обычно перетекает от большего потенциала к меньшему. Перенося с помощью шарика следующую порцию заряда, мы совершаем еще большую работу. Это наглядный пример того, что потенциал – энергетическая характеристика.

Это свойство распределения зарядов по поверхности проводника можно использовать при перенесении заряда с одного проводника на другой или при создании электростатических генераторов.