- •Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и пространстве. Понятие функции
- •Тема 1. Прямая на плоскости
- •Тема 2. Кривые второго порядка
- •Тема 3. Уравнение плоскости
- •Тема 4. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Тема 5. Функция. Область определения
- •Тема 6. Непрерывность функции. Предел функции
Тема 5. Функция. Область определения
Определить область определения следующих функций:
1) ; 6) ;
2) ; 7) ;
3) ; 8) ;
4) ; 9) ;
5) ; 10) , .
Определить область определения и множество значений следующих функций:
1) ; 3)
2) ; 4) .
Записать функцию, выражающую зависимость радиуса r цилиндра от его высоты h при данном объеме V=1. Построить график этой функции.
Выразить площадь равнобокой трапеции с основаниями a и b как функцию угла при основании a. Построить график функции при a=2, b=1.
Исследовать на монотонность следующие функции:
1) ; 2) 3) ;
4) ; 5) , .
Определить, какие из данных функций являются четными, а какие нечетными:
1) ; 2) ;
3) , ; 4) ;
5) .
Используя правила преобразования графиков функций по графику функции , построить эскизы графиков следующих функций:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ;
16) ; 17) ; 19) ;
20) ; 21) ;
Построить эскизы графиков следующих функций:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
Тема 6. Непрерывность функции. Предел функции
Покажите, что функция ограничена в интервале .
Покажите, что функция не ограничена в любой окрестности точки , однако не является бесконечно большой при .
С помощью рассуждений докажите, что:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Пусть При таком выборе числа а функция будет непрерывной? Построить ее график.
С помощью рассуждений доказать, что функция непрерывна при .
Вычислите пределы:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 7) ;
8) ; 9) ;
11) ; 12) ;
16) ; 17) ;
18) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22) , ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ;
28) ; 29) ;
30) ; 31) ;
33) ; 34) ;
35) ; 36) ;
37) ; 38) ;
39) ; 40) ;
41) ; 42) ;
44) ; 45) ;
46) ; 47) ;
48) ; 49) ;
50) ; 51) ;
52) ; 53) ;
54) ; 55) ;
56) ; 57) ;
58) ; 59) ;
60) ; 61) ;
62) ; 63) ;
64) ; 65) ; 66) , ; 67) ; 68) ; 69) ; 70) ; 71) ; 72) ; 73) ; 74) ; 75) .
Пусть дана функция . Показать, что для каждого можно подобрать такое, что , если только , а для для всех значений х этого сделать нельзя. В каких точках нарушается непрерывность этой функции?
С помощью рассуждений доказать непрерывность следующих функций:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .
Исследовать на непрерывность и изобразить графически следующие функции:
1) , если и – произвольно;
2) , если и ;
3) , если и ;
4) , если и – произвольно;
5) , если и ;
6) , если и ;
7) , если и – произвольно;
8) ;
9) , если и ;
1 0) ;
11) .
Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек если:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .
Пусть При каком выборе числа а функция будет непрерывной?
Исследовать следующие функции на непрерывность и выяснить характер точек разрыва, если:
1) 2)
3) 4) 5)
Показать, что при любом выборе числа функция будет разрывная при х=1.
Функция теряет смысл при х=0. Определить число так, чтобы была непрерывна при х=0, если:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .