11

Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и пространстве. Понятие функции

Тема 1. Прямая на плоскости

1. Даны две точки: и . Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно вектору .

2. Составить уравнение прямой, если точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

3. Даны вершины треугольника: , , . Составить уравнения его высот.

4. Даны уравнения сторон треугольника , , . Определить точку пересечения его высот.

5. Даны вершины треугольника: , , . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

6. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат прямоугольной системы Oxy и наклоненной к оси Ox под углом:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат:

1. параллельно прямой ;

2. перпендикулярно прямой ;

3. образующей угол с прямой ;

4. наклоненной под углом в к прямой .

9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно:

1) оси абсцисс; 2) биссектрисе координатного угла; 3) прямой .

10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью Ox угол вдвое больше угла, составленного с этой осью прямой .

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой:

1) ;

2) .

12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку на одинаковом расстоянии от точек и .

13. Найти точку , симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки и .

14. Определить угол  между прямыми:

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , .

15. Установить, какие из следующих прямых перпендикулярны:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

16. Даны две противоположные вершины квадрата: и . Составить уравнение его сторон.

17. Точка является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения остальных сторон квадрата.

18. Даны уравнения сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный.

19. Точка является вершиной квадрата, одна из сторон которого задана уравнением . Вычислить площадь этого квадрата.

20. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин . Вычислить площадь этого квадрата.

21. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:

1) 2)

3) 4)

Тема 2. Кривые второго порядка

1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что:

а) полуоси его

б) расстояние между фокусами а большая ось

в) малая полуось и расстояние между фокусами

г) большая полуось а эксцентриситет

д) малая полуось а эксцентриситет

е) сумма полуосей а расстояние между фокусами

2. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3; б) большая полуось a=6, а эксцентриситет ; в) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ; г) расстояние между фокусами равно 6, а ; д) расстояние между фокусами равно , а .

3. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

4. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что: а) расстояние между фокусами 2c=10, а между вершинами 2а=8; б) действительная полуось , а эксцентриситет ; в) расстояние между фокусами 2с=6, а эксцентриситет ; г) расстояние между фокусами 2с=20, а уравнение асимптот ; д) мнимая полуось b=4, а расстояние между фокусами 2с=10.

5. Построить гиперболу Найти: а) действительную и мнимую полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот.

6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30.

7. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет Найти уравнение гиперболы.

8. Построить гиперболу Найти: а) действительную и мнимую полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот.

9. Найти уравнения асимптот гиперболы

10. Построить эллипс Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет.

11. Уравнения асимптот гиперболы и , а расстояние между фокусами Найти уравнение гиперболы.

12. Парабола проходит через точку А(2,4). Определить ее параметр p.

13. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Оx.

14. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса, если известно, что эллипс проходит через точки и

15. Эллипс проходит через точки и . Написать его уравнение и найти расстояния точки М от фокусов.

16. Гипербола проходит через точку и имеет мнимую полуось b=2. Написать ее уравнение и найти расстояния точки М от фокусов.

17. Построить параболу . Найти а) координаты фокуса; б) уравнение директрисы.

18. Написать уравнение параболы: а) проходящей через точки (0;0) и (1;-3) и симметричной относительно оси Оx; б) проходящей через точки (0;0) и (2;-4) и симметричной относительно оси Оy.

19. Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Оx и что точка пересечения прямых и лежит на параболе.

20. Найти фокальные радиусы и для эллипса , если точка М(-4,2,4) принадлежит эллипсу.

21. Фокусы эллипса расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат. Точка принадлежит эллипсу, а его малая полуось Найти большая полуось .