Парные коэффициенты корреляции.

Парный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между случайными переменными X_i и X_j.

Свойства парного коэффициента корреляции:

1. Если ǀr*(x_i,x_j)ǀ>0,7, то наблюдается сильная линейная связь;

2. Если ǀr*(x_i,x_j)ǀ<0,3, то наблюдается слабая линейная связь;

3. Если ǀr*(x_i,x_j)ǀ=1, то данные представляют собой совокупность точек, которые можно расположить на одной прямой;

4. Если ǀr*(x_i,x_j)ǀ=0, то линейная связь отсутствует;

5. Если r*(x_i,x_j) положительный, то связь прямая; если r*(x_i,x_j) отрицателен, то связь обратная.

Матрица парных коэффициентов корреляции:

	Y	X1	X2	X3	X4
Y	1	0,891782	0,938132	0,994269	0,982774
X1	0,891782	1	0,754656	0,9014	0,8121
X2	0,938132	0,754656	1	0,901898	0,970956
X3	0,994269	0,9014	0,901898	1	0,966341
X4	0,982774	0,8121	0,970956	0,966341	1

Находим определитель матрицы парных коэффициентов: ǀQǀ = 4,4E-07

Из матрицы парных коэффициентов видно, что наиболее тесная связь наблюдается между переменной Y и переменными Х1, X2, X3, и X4 то есть все показатели влияют на объем розничной торговли. Но наибольшее влияние на объем розничной торговли оказывает объем платных услуг, оказанных населению. Наименьшее – сельское хозяйство. Зависимость между переменной Y и переменными Х1, X2, X3, и X4 прямая, это означает, что с их ростом объем розничной торговли увеличивается. Увеличение объема платных услуг населению ведет к увеличению объема розничной торговли. Наибольшее влияние на объем розничной торговли оказывает объем платных услуг, оказанных населению. Наименьшее – сельское хозяйство.

Проверим парные коэффициенты корреляции на значимость:

Находим табличное значение с помощью распределения Стьюдента с (n-m) степенями свободы, (с вероятностью 95%): К_таб = 2,306004

Находим вычисленное значение:

Квыч	Y	X1	X2	X3	X4
Y		5,574672	7,662736	26,3041	15,04084
X1	5,574672		3,253195	5,888251	3,936412
X2	7,662736	3,253195		5,905685	11,47822
X3	26,3041	5,888251	5,905685		10,62424
X4	15,04084	3,936412	11,47822	10,62424

Если ǀК_вычǀ>К_таб, то коэффициент значим. В таблице выделены все значимые коэффициенты. Таким образом, у нас нет незначимых коэффициентов.

Множественный коэффициент корреляции. (Он изменяется в пределах от 0 до 1)

где - определитель корреляционной матрицы; - алгебраическое дополнение -го элемента.

R(Y,Y)

1	0,75465587	0,9014	0,8121
0,754656	1	0,901898	0,970956
0,9014	0,90189817	1	0,966341
0,8121	0,97095556	0,966341	1

Множественный коэффициент корреляции R_yх= 0,99. Сильная взаимосвязь.

Множественный коэффициент корреляции считается значительным, т.е. имеет место статистическая зависимость между Y и остальными факторами X, если К_таб < К_выч

Ктаб=5,19

(с вероятностью 95%) находим с помощью F-критерия Фишера c (k) и (n-k-1) степенями свободы.

К_выч = R²/(1-R²)*(n-k-1)/k= 771,4

Вывод: К_таб < К_выч => На уровне значимости 5% можно утверждать, что множественный коэффициент корреляции значим, т.е. между Y и факторами X имеет место сильная статистическая зависимость. Т.е. такие показатели как сельское хозяйство, импорт, объем платных услуг населению и оборот оптовой торговли в значительной степени оказывают влияние объем розничной торговли.

Частный коэффициент корреляции - измеряет тесноту линейной связи между отдельным фактором и результатом при устранении воздействия прочих факторов модели.

r*(Xi;Xj•X1...Xk) = -Qij/√(Qii*Qjj)

Частные коэффициенты корреляции		Квыч	Z(r*)	Zнижн	Zверх
r*(Y;X1•X2,Х3,X4)=	0,52766552	1,756972	0,586904	-0,3931	1,566904
r*(Y;X2•X1,Х3,X4)=	0,58091925	2,018632	0,663849	-0,31615	1,643849
r*(Y;X3•X1,Х2,X4)=	0,88611452	5,40775	1,40354	0,42354	2,38354
r*(Y;X4•X1,X2,Х3)=	0,33097804	0,992061	0,343926	-0,63607	1,323926

Проверим частные коэффициенты корреляции на значимость:

Находим табличное значение через критерий Стьюдента:

Ктаб=t_1-α[St(n-k-2)] = 2,57

Находим вычисленное значение: Квыч= r* (Xi,Xj;*) * корень(n-k-2)/ корень (1-r² (Xi, Xj;*)

Если |К_выч|≤К_таб, то коэффициент незначим. В таблице выделен К_выч, значение которого превышает К_таб. Следовательно, на уровне значимости 5% можно утверждать, что коэффициент Х3 значим_.

Вывод: на уровне значимости 5% наиболее тесная взаимосвязь при фиксированном воздействии другой переменной наблюдается между показателями У и X1, Х2, X4. Т.е. при фиксированном влиянии другой переменной наиболее сильное влияние на объем розничной торговли будут оказывать сельское хозяйство, импорт и оборот оптовой торговли.

Рассмотрим линейную регрессионную модель с k = 4 объясняющими переменными: Y = b₀+b₁*X₁+b₂*X₂+b₃*X₃+b₄*X₄+ε, где b₀, b₁, b₂, b₃, b₄ – неизвестные параметры модели, которые найдем с помощью МНК – оценок.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R		0,999190795
R-квадрат		0,998382245
Нормированный R-квадрат		0,997088041
Стандартная ошибка		4977,612654
Наблюдения		10

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	76453300308	19113325077	771,4256065	3,68E-07
Остаток	5	123883138,7	24776627,73
Итого	9	76577183446

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-24377,61787	11828,38224	-2,060942687	0,094320011
Переменная X 1	1,621265425	1,167210984	1,389008026	0,223518481
Переменная X 2	2739,574893	1716,66719	1,595868383	0,171405077
Переменная X 3	2,457249717	0,574768095	4,275202015	0,007899516
Переменная X 4	0,064385051	0,082093068	0,784293392	0,468377991

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	42580,47771	-2120,777708
2	55935,11646	-1710,216459
3	68321,46709	-177,4670943
4	80929,75978	2866,34022
5	99853,50963	1295,790365
6	134036,7088	-3800,408765
7	177692,8814	337,7185727
8	211948,4888	8458,211173
9	278940,457	-680,0570151
10	294665,0333	-4469,133289

Построим уравнение регрессии:

Y=1,621265425*X1+2739,574893*X2+2,457249717*X3+0,064385051*X4-24377,61787

Проверим регрессионную модель на значимость:

R² = 0,998382245, то на 99,8% цены на новые автомобили описаны с помощью факторов Х1, Х2, Х3, Х4 (сельское хозяйство, импорт, оказание платных услуг населению и оборот оптовой торговли). В модели не учтены около 0,2 % факторов, которые также влияют на оборот розничной торговли.

Применяется критерий Фишера:

К выч = R² * (n-m) / (1 - R² )* (m-1) =771,4256065

К_таб = Х_1-α[F(m-1; n-m)] ← находим с помощью F-критерия Фишера

Ктаб=3,48

(на уровне значимости 95%).

Т.к. Квыч > Ктаб, то данная модель значима.

Вывод: на уровне значимости 5% можно утверждать, что данная модель значима.

Проверим на значимость параметры модели с помощью критерия Стьюдента на уровне значимости 0,05. К_табл. = St_0.95(5) = X_0.975(5) = 2,57

Таким образом, для первого параметра |К_выч. | =1,389008026< К_табл. Следовательно, первый параметр незначим. Аналогичным образом по имеющимся данным оцениваем оставшиеся параметры модели. В результате, еще 2 параметра будут незначимыми, а именно, Х2 и Х4. Исходя из этого исключим из модели параметр с наименьшей t-статистикой, а именно Х4 – оборот оптовой торговли

В итоге, оборот оптовой торговли не влияет на оборот розничной торговли.

Проанализируем влияние других факторов: сельское хозяйство, импорт, объем платных услуг населению.

Вывод: На уровне значимости 5% можно утверждать, что модель значима. Так же на уровне значимости 5% можно утверждать, что параметр b₃ значим, а параметры b_1, b_2, b₄ незначимы. Из модели нужно убрать один фактор b₄ – оборот оптовой торговли, т.к. у него К_выч. меньше всего (т.е. объем платных услуг населению влияет на оборот розничной торговли).

Рассмотрим линейную регрессионную модель с k = 3 объясняющими переменными:

Y = b2*X2+b3*X3+b4*X4+ b0, где b0, b2, b3, b4 – неизвестные параметры модели, которые найдем с помощью МНК – оценок.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R			0,999091
R-квадрат			0,998183
Нормированный R-квадрат			0,997275
Стандартная ошибка			4815,317
Наблюдения			10
Дисперсионный анализ
	df	SS			MS				F				Значимость F
Регрессия	3	7,64E+10			25479353268				1098,85076				1,31E-08
Остаток	6	1,39E+08			23187273,65
	Коэффициенты			Стандартная ошибка			t-статистика			P-Значение
Y-пересечение	-30283			8824,891			-3,431540946			0,013944799
X1	1,081437			0,911933			1,185872542			0,280501372
X2	3958,087			706,3556			5,603533427			0,001376385
X3	2,859877			0,250062			11,43665368			2,68132E-05

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	42068,51	-1608,81
2	55188,41	-963,513
3	69458,33	-1314,33
4	81968,85	1827,252
5	99705,97	1443,329
6	132357,6	-2121,34
7	179714,8	-1684,22
8	211108,1	9298,611
9	277325,1	935,2506
10	296008,1	-5812,22

Построим уравнение регрессии:

Y=1,081437*X1+3958,087*X2+2,859877*X3-30283

Проверим регрессионную модель на значимость:

R2 = 0,998183, то на 99,82% оборот розничной торговли описаны с помощью факторов Х1, Х2, Х3 ( сельское хозяйство, импорт, объем платных услуг населению). В модели не учтены около 0,18 % факторов, которые также влияют на оборот розничной торговли.

Применяется критерий Фишера:

К выч = R2 * (n-m) / (1 - R2 )* (m-1) = 1098,85

Ктаб = Х1-?[F(m-1; n-m)] < находим с помощью F-критерия Фишера

Ктаб= 3.708 (на уровне значимости 95%).

Т.к. Квыч > Ктаб, то данная модель значима.

Вывод: на уровне значимости 5% можно утверждать, что данная модель значима.

Проверим на значимость параметры модели с помощью критерия Стьюдента на уровне значимости 0,05. Ктабл. = St0.95(6) = X0.975(6) = 2,45. Таким образом, для первого параметра |Квыч. | =5,6 > Ктабл. Следовательно, второй параметр значим. Аналогичным образом по имеющимся данным оцениваем оставшиеся параметры модели. В результате, все остальные параметры модели, кроме первого, будут значимыми.

Вывод: На уровне значимости 5% можно утверждать, что модель значима. Так же на уровне значимости 5% можно утверждать, что параметры b2, b3 значимы, а параметр b1 незначим.

Рассмотрим линейную регрессионную модель с k = 2 объясняющими переменными:

Y = b2*X2+b3*X3 + b0, где b0, b2, b3– неизвестные параметры модели, которые найдем с помощью МНК – оценок.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,998878
R-квадрат	0,997757
Нормированный R-квадрат	0,997117
Стандартная ошибка	4953,091
Наблюдения	10

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	7,64E+10	3,82E+10	1557,191	5,34E-10
Остаток	7	1,72E+08	24533108
Итого	9	7,66E+10

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-21191,1	4495,267	-4,7141	0,002172
X2	3696,912	690,3457	5,355161	0,001058
X3	3,090883	0,161281	19,16456	2,62E-07

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	42521,3	-2061,6
2	53461,46	763,4434
3	70180,64	-2036,64
4	84189,2	-393,1
5	101659,7	-510,447
6	131248,7	-1012,4
7	175787,4	2243,166
8	210420,3	9986,445
9	277737,5	522,9039
10	297697,7	-7501,76

Y=3696,912*X2+3,090883*X3-21191,1

Проверим регрессионную модель на значимость:

R2 = 0,997757, то на 99,76% оборот розничной торговли описаны с помощью факторов Х2, Х3 (импорт, объем платных услуг населению). В модели не учтены около 0,24 % факторов, которые также влияют на оборот розничной торговли.

Применяется критерий Фишера:

К выч = R2 * (n-m) / (1 - R2 )* (m-1) = 1557,19

Ктаб = Х1-?[F(m-1; n-m)] < находим с помощью F-критерия Фишера

Ктаб=4,1

(на уровне значимости 95%).

Т.к. Квыч > Ктаб, то данная модель значима.

Вывод: на уровне значимости 5% можно утверждать, что данная модель значима.

Проверим на значимость параметры модели с помощью критерия Стьюдента на уровне значимости 0,05. Ктабл. = St0.95(7) = X0.975(7) = 2,36. Таким образом, для первого параметра |Квыч. | =5,4 > Ктабл. Следовательно, второй параметр значим. Аналогичным образом по имеющимся данным оцениваем оставшиеся параметр модели. В результате, все параметры модели будут значимыми.

Вывод: На уровне значимости 5% можно утверждать, что модель значима. Так же на уровне значимости 5% можно утверждать, что параметры b2, b3 значимы.