- •Приближенные формулы
- •Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
- •Правило Лопиталя
- •Применения производной к исследованию
- •11.16.3. Достаточные условия экстремума.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Свойства дифференциала
- •11.18.3. Таблица основных дифференциалов
- •11.18.4. Дифференциалы высших порядков
- •Полярные координаты
- •Производные высших порядков
- •Параметрическое задание функции
- •Кривизна. Радиус кривизны. Центр кривизны
Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
Если функция непрерывна на [a, b] и дифференцируема в (a, b), то внутри отрезка [a, b] найдётся, по крайней мере, одна такая точка (a, b), в которой
|
Геометрический смысл: если кривая y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в (a, b), то к графику функции можно провести по крайней мере одну касательную, параллельна хорде АВ. |
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя для неопределённостей вида или :
, если предел справа существует.
Применения производной к исследованию
функций
Достаточные признаки возрастания и убыва- ния функции (в точке и на отрезке):
если , то функция возрастает ;
если , то функция убывает.
11.16.2. Необходимые условия экстремума функции в точке :
или - не существует.
11.16.3. Достаточные условия экстремума.
а) Если при переходе через (слева направо !)
меняет знак с «+» на «-» , то - точка максимума:
;
меняет знак с «-» на «+» , то - точка минимума:
.
б) Если в точке
, но , то ;
, но , то .
11.16.4. Точки перегиба графика функции .
Необходимое условие на перегиб в точке :
или - не существует.
Достаточное условие на перегиб в точке :
меняет знак при переходе через точку .
11.16.5. Асимптоты
Прямая есть вертикальная асимптота, если
.
Наклонная асимптота: , где
, .
11.16.6. Уравнения касательной и нормали к кривой
Уравнения касательной и нормали к кривой в точке :
а) касательной (АВ на рис): ;
в) нормали (АС на рис.): .
Приближённые вычисления корней уравне-
ния
Если функция непрерывна на отрезке и , то корень уравнения приближённо может быть найден по формулам:
, ( метод хорд );
, где (метод касательных).
Дифференциал функции
Дифференциал функции : или .
Связь приращения функции с её дифференциалом :
, где при .
Отсюда ясно, что приращение дифференцируемой функции или
. (*)
Эта формула используется в приближённых вычислениях.
Заметим, если , или, в силу (*):