Тема 6. Корреляционный анализ §1. Понятие о корреляционной связи.

В психологической практике часто возникают задачи, связанные с изучением взаимосвязей между двумя и более величинами. Например, связана ли академическая успеваемость учащихся с высоким уровнем тревожности? С чем более тесно связан уровень умственного развития учащихся – с их успеваемостью по математике или по литературе?

В математическом анализе рассматривался случай, когда каждому значению одной переменной ставится в соответствие одно определенное значение другой переменной ( ). Такую зависимость одной величины от другой называют функциональной.

Подобные однозначные связи между переменными встречаются весьма редко. Например, если взять несколько людей одного роста, то они будут иметь различный вес. То есть одному значению одной переменной соответствует несколько значений другой переменной, которые можно представить в виде ряда распределения:

			…
			…

Такая зависимость называется статистической (аналог в теории вероятностей – условные законы распределения).

Если каждому значению ставится в соответствие условная средняя, вычисленная при , то есть , то такая зависимость называется корреляционной (или корреляцией). Термин «корреляция» был введен в науку в 1886 году английским ученым Френсисом Гальтоном.

Виды корреляционной связи могут быть различны: корреляционная связь может быть линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Примеры графиков приведены на рисунках. По оси абсцисс отложены значения величины , а по оси ординат – значения величины .

Корреляционная связь будет:

• линейной, если экспериментальные точки располагаются вдоль некоторой прямой;

• нелинейной, если экспериментальные точки располагаются вдоль какой-либо кривой, например, вдоль параболы;

• положительной, если с увеличением переменной переменная в среднем имеет тенденцию к увеличению;

• отрицательной, если с увеличением переменной переменная в среднем имеет тенденцию к уменьшению.

Не следует путать понятия «корреляционная связь» и «корреляционная зависимость». Зависимость – это изменение одной величины под действием другой, а корреляционная связь означает любые согласованные изменения двух величин (при этом они вполне могут не зависеть друг от друга, а зависеть от какой-то третьей величины).

Задача корреляционного анализа:

Для оценки корреляционной зависимости могут использоваться различные коэффициенты: коэффициент линейной корреляции Пирсона (используется, если обе изучаемые величины распределены нормально), коэффициент ранговой корреляции Спирмена, коэффициент ранговой корреляции Кендала и другие.

§2. Коэффициент линейной корреляции Пирсона. Уравнение регрессии.

Коэффициент корреляции Пирсона используется в том случае, когда обе исследуемые величины являются количественными и распределены по нормальному закону. Данный коэффициент характеризует только наличие линейной связи. Причем, если связь между признаками имеет линейный характер, то коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. Поэтому его часто называют коэффициентом линейной корреляции. Обозначается , коэффициент, вычисленный по выборке - .

Значение , вычисленное по выборке, не превышает по абсолютному значению 1 (|r_в|≤1). Чем ближе |r_в| к единице, тем теснее линейная связь. Если r_в>0, то корреляционная связь положительная. Если r_в<0, то корреляционная связь отрицательная.

Теоретическое значение коэффициента линейной корреляции вычисляется по формуле: .

Выборочное значение коэффициента линейной корреляции вычисляется по формуле: , где - среднее значение произведения вариант, - среднее значение переменной Х, - среднее значение переменной Y, и - выборочные среднеквадратические отклонения переменных Х и Y.

Полученное выборочное значение является точечной оценкой – генерального коэффициента линейной корреляции. Если , то величины не связаны линейной корреляционной связью. Если , то величины связаны линейной корреляционной связью.

Следовательно, нужно проверить гипотезу при конкурирующей гипотезе . Наблюдаемым значением является выборочное значение коэффициента корреляции, взятое по модулю: .

Критическое значение находим по таблице критических значений коэффициента линейной корреляции: . Осуществляем выбор гипотезы, учитывая, что критерий двусторонний (но при рассматривается, как правосторонний).

Ограничения критерия Пирсона:

Проверка гипотезы может осуществляться также с помощью критерия Стьюдента. В этом случае наблюдаемое значение вычисляется по формуле: .

Критическое значение находят по таблице критических точек распределения Стьюдента: . В этом случае конкурирующая гипотеза может быть как ненаправленной, так и направленной.

Если между величинами доказана линейная корреляционная связь, то ее можно описать с помощью уравнения регрессии.

• - уравнение линейной регрессии Y на Х.

• - уравнение линейной регрессии Х на Y.

Уравнение регрессии Y на Х может быть найдено по формуле: , где - коэффициент регрессии Y на Х, описывает силу линейной корреляционной связи.

Уравнение регрессии Х на Y может быть найдено по формуле:

, где - коэффициент регрессии Х на Y, описывает силу линейной корреляционной связи.

Уравнение регрессии позволяет по значению одной переменной оценить значение другой переменной.

Используется для предсказания значений, которые трудно вычислить.