Линейные уравнения
Линейным уравнением называется уравнение вида
.
(1.22)
Заметим,
что искомая функция
и ее производная
входят в уравнение (1.22) только в первой
степени и между собой не перемножаются.
Общее решение этого уравнения будем искать методом Бернулли. Согласно этому методу решение ищется в виде произведения двух функций
,
(1.23)
где
функция
выбирается произвольно, а функция
определяется при известной уже
так, чтобы
была
решением (1.22).
Подставим функцию (1.23) в уравнение (1.22). Получим
,
или
.
(1.24)
Потребуем, чтобы удовлетворяла уравнению
.
(1.25)
Здесь мы воспользовались возможностью произвольно выбрать . Уравнение (1.25) – уравнение с разделяющимися переменными. Поэтому представим его в виде
.
(1.26)
Проинтегрируем (1.26). Получим
или
,
откуда
.
(1.27)
Нам нужна лишь одна, любая функция, удовлетворяющая (1.25), поэтому произвольную постоянную при интегрировании положим равной нулю.
Подставив функцию в уравнение (1.24), получим для определения простейшее уравнение
.
Его общее решение имеет вид
.
Тогда
,
где определяется по формуле (1.27).
Пример 1.4. Найти общее решение уравнения
.
(1.28)
Решение.
Ищем решение в виде
.
Тогда (1.28) запишется следующим образом
.
(1.29)
Функцию ищем как решение уравнения
или
.
Тем
самым выражение
в уравнении (1.29) обращается в ноль.
Интегрируя последнее равенство, получаем
или
.
Подставляем найденную функцию в уравнение (1.29). Получаем
или
Тогда
.
Общее решение (1.28) имеет вид
.
Пример 1.5. Найти общее решение уравнения
.
(1.30)
Решение. Ищем решение уравнения (1.30) в виде . Тогда (1.30) принимает вид
.
(1.31)
Требуем, чтобы функция была решением уравнения
(1.32)
или
.
Интегрируя это равенство, получаем
,
откуда
.
(
Мы воспользовались свойством:
.)
Подставляем найденную функцию в (1.31). Получаем
,
откуда
или
.
Общее решение уравнения (1.30) имеет вид
.
Пример 1.6. Решить задачу Коши:
,
(1.33)
.
(1.34)
Решение. Прежде всего, следует получить общее решение уравнения (1.33). Ищем решение в виде . Подставим его в (1.33). Получим
.
(1.35)
Потребуем,
чтобы
.
Тогда
.
(1.36)
Решаем (1.36) как уравнение с разделяющимися переменными:
,
,
,
.
(1.37)
Подставляем
функцию
из (1.37) в уравнение (1.35). Получаем
,
откуда
.
Отдельно
найдем первообразную, стоящую в правой
части, с помощью замены
:
.
Таким образом,
,
и общее решение уравнения (1.33) имеет вид
.
(1.38)
Теперь, чтобы найти постоянную , подставим значения x и y из начального условия (1.34) в общее решение (1.38). Получим
.
Следовательно,
и решение задачи (1.33), (1.34) имеет вид
.