1. Простейшее уравнение

Его общий вид таков:

. (1.10)

Его общее решение представляет собой неопределённый интеграл от функции , т.е.

.

Здесь и во всех последующих записях решений дифференциальных уравнений под символом имеется в виду одна (любая) первообразная подынтегральной функции.

Уравнение (1.3) является простейшим.

2. Уравнение с разделяющимися переменными

Так называются уравнения вида

. (1.11)

Чтобы получить общее решение (общий интеграл) уравнения (1.11), следует воспользоваться тем, что , а затем “разделить” переменные, т.е. записать уравнение (1.11) в виде

или

.

Деля обе части (1.11) на , можно потерять решения вида , где является решением уравнения . Эти решения после получения общего решения следует рассмотреть отдельно. Может оказаться, что они не являются частными решениями (1.11).

Если дифференциалы двух функций равны, то сами функции могут отличаться друг от друга лишь на постоянное слагаемое. (См. теорему о первообразных учебного пособия [2].) Следовательно,

. (1.12)

Формула (1.12) и даёт общее решение (общий интеграл) уравнения (1.11). Заметим, что простейшее дифференциальное уравнение (1.10) является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными (1.11), когда .

Пример 1.1. Найти общее решение уравнения

(1.13)

Решение. Правую часть этого уравнения можно разложить на множители:

Следовательно, уравнение (1.13) можно переписать в виде

или

(1.14)

и «разделить» в нём переменные:

.

Отсюда

или

.

Тем самым получен общий интеграл уравнения (1.13). Его можно переписать в виде

.

Пример 1.2. Найти общее решение уравнения

. (1.15)

Решение. Перепишем уравнение в виде

и “разделим” переменные, получив

. (1.16)

Отсюда

.

Здесь произвольная постоянная выбрана в виде ( ). После вычисления интегралов получаем

или

.

Тем самым получен общий интеграл исходного уравнения (1.15).

Пример 1.3. [1]. Дано дифференциальное уравнение

. (1.17)

1. Найти его общее решение.

2. Решить для него задачу Коши с начальным условием

. (1.18)

Решение.

1. Запишем уравнение (1.17) в виде

. (1.19)

Проинтегрируем (1.19). Получим

или

. (1.20)

Получен общий интеграл уравнения (1.17). Легко видеть, что геометрически формула (1.20) определяет семейство полупарабол: (см. рисунок).

2. Чтобы решить задачу Коши (1.17), (1.18), подставим в формулу (1.20) начальные данные и . Получим

.

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

. (1.21)

График функции (1.21) отмечен на рисунке жирной линией.