9.2. Метод найменших квадратів (мнк).

Суть даного методу полягає в тім, що квадрат суми ріниці між фактичним значенням результативної ознаки і його теоретичним значенням зводиться до мінімуму.

F

*

=  (у_факт – у_теор )²  min

* - у_факт (емпіричне) , - yтеор(теоретичне)

Щоб знайти параметри a₀ , a₁, a₂ , необхідно у формулу (1) підставити у_теор, тобто ту аналітичну залежність, який будемо згладжувати (апроксимувати) статистичний матеріал. Як відомо з математики, для знаходження мінімуму функції потрібно взяти частинні похідні по аналізованих параметрах, тобто по а0, а1 і прирівняти даний вираз до нуля. Одержимо систему нормальних рівнянь, з яких знайдемо задані коефіцієнти.

F =  (у_факт – a₀ – a₁x_факт )²  min

у_расч = a₀ + a₁x_факт

(*)

перетворивши рівняння (*), одержимо систему нормальних рівнянь:

(**)

рішенням системи (**) будуть:

Розрахувавши коефіцієнти a₀ , a₁, можна синтезувати модель:

(оцінки коефіцієнтів a₀ , a₁)

Аналогічно, використовуючи МНК, можна одержати коефіцієнти для інших функцій, використовуваних при апроксимації.

Якщо як факторну ознаку х використовується час t, то такий ряд називається динамічним (тимчасовим) поруч. При застосуванні спеціального підходу при позначенні факторної ознаки t, коли сума часу t буде дорівнює 0, вираження для коефіцієнтів a₀ , a₁ , a₂ – будуть простіше.

t_i, t = 0

93	94	95	96	97
-2	-1	0	1	2

При такому підході формули коефіцієнтів a₀ , a₁ значно спрощуються:

, (для лінійної функції)

Аналогічно визначаємо коефіцієнти для інших функцій:

y_t =a₀ +a₁t +a₂t² (парабола)

y =a₀ a₁^t (показова функція)

Для того, щоб переконатися, що отримані коефіцієнти є типовими, використовують метод оцінки за допомогою розподілу Стьюдента (критерій Стьюдента). Знаходять:

 - середнє квадратичне відхилення;

² – дисперсія

- залишкова дисперсія

,

Відокремивши t_a0, t_a1 і порівнявши з t_таблич, можна зробити висновок, що якщо t_a0  t_таблич і

t_a1  t_таблич (t_a0 t_таблич t_a1), те параметри а₀ і а₁ – стандартно типові (мають оцінку незміщеної, ефективний).

Одержавши синтезовані моделі по функціях 1-5 порівнюють залишкову дисперсію і по мінімальності залишкової дисперсії вибирають функцію для апроксимації (згладжування).

Для оцінки прогнозу використовують звичайно не дискретні (крапкові) значення результативної ознаки, а розрахований інтервал.

Y_{прогнозне}= y_теор  t_ _*

 - коефіцієнт довіри, звичайно вибирається 0,05 і імовірність Р=0,95.

t_ - знаходиться по таблиці Стьюдента (t_ = 4,3).

_* - скоректоване середнє квадратичне відхилення з урахуванням ступенів волі n - m, де

m - число параметрів нашої синтезованої моделі;

n - обсяг вибірки.

Д ля y =a₀ +a₁x, m = 2

9.3. Використання якісних показників в економетричних моделях.

В економічних явищах поряд з кількісними факторами застосовуються також якісні фактори: племінні, сортові властивості. Ці якісні параметри оцінюються показником d, що носить бінарну властивість.

 «1» - властивість є (студент-відмінник, овоч сортовий, худоба породиста)

d - 

 «0» - властивості немає

У літературі d – «DUMMY - фактор»

Тоді, з обліком d:

y_i = a₀ + a₁d_1i + _1i x_1i + _i (*)

З обліком d_1i = (1,0), рівняння розпадається:

E (y_i / d_1i = 0)= a₀ + _1i x_1i + _i

E (y_i / d_1i = 1)= a₀ + a₁ + _1i x_1i + _i

X – вступний бал на іспиті;

Y – рейтинг студента в семестрі.