10.3. Дискретное преобразование хартли
Формулы преобразования.Как обычно, для представления функций с равномерной дискретизацией примем обозначение s(nt). Количество отсчетов функции равно N, интервал задания [0, N-1]. Приt = 1 альтернативное обозначение функций s(n)sn. Прямое и обратное преобразование Хартли (ДПХ) в общей форме:
Sh(mf) = (1/N)s(nt) cas(2mf nt), n = 0…N-1, (10.3.1)
s(nt) =Sh(mt) cas(2mf nt), m = 0…M-1. (10.3.2)
Здесь: М – количество отсчетов спектральной функции с шагом дискретизации по частоте f. Как и в преобразовании Фурье, дискретизация сигнала вызывает периодизацию частотных функций с аналогичными нормами корректности преобразования. Частота Найквиста для главного частотного диапазона fN= 1/2t, главный частотный диапазон вычислений от 0 до 2fN(приt=1 от 0 до 1), оптимальный и достаточный шаг частотной дискретизации для сохранения всей сигнальной информации и восстановления сигнала при обратном преобразовании без погрешностиf = 1/N. Пример преобразования приведен на рис. 10.3.1.
Рис. 10.3.1. Дискретное
преобразование Хартли.
Sh(m) = (1/N)s(n) cas(2m n/N), (10.3.1')
s(n) =Sh(m) cas(2m n/N). (10.3.2')
Спектр сигналов является непрерывной функцией. Оптимальная дискретизация спектра при малом количестве данных может существенно искажать форму спектра, и для визуального просмотра шаг дискретизации может быть уменьшен, как это показано на рис. 10.3.1 для спектра Sh1. Однако при этом следует учитывать, что при уменьшении шага спектра в k-раз для восстановления сигнала из спектра требуется выполнять расчет с увеличением в k раз количества точек спектра М.
Рис. 10.3.2.
Свойства дискретного преобразованияпо своей сущности аналогичны свойствам непрерывного преобразования. С учетом смещения расчетного главного диапазона спектра в область положительных индексов на половину периода, значениям Sh(-m) соответствуют значения Sh(M-m) и, соответственно, несколько изменяются формулы свойств преобразования. Из чисто практических соображений построения алгоритмов расчетов заметим, что при m=0 значениям Sh(M-m) должно соответствовать значение Sh(0). Для сохранения общности алгоритмов это выполняется расчетом спектров в формулах (10.3.1) не до индекса M-1 (при M=N), а до индекса М (с сохранением предела суммирования М-1 в формулах обратного преобразования).
Вычисление четной и нечетной составляющих:
Shsym(m) = [Sh(m)+Sh(M-m)]/2, (10.3.3)
Shasym(m) = [Sh(m) - Sh(M-m)]/2. (10.3.4)
Связь с преобразованием Фурье:
S(m) = Shsym(m) – j Shasym(M-m), (10.3.5)
Энергетический и фазовый спектры:
Wh(m) = [Sh2(m)+Sh2(M-n)]/2. (10.3.6)
(m) = argtg(-[Sh(m) - Sh(M-n)] / [Sh(m)+Sh(M-n)]). (10.3.7)
Сдвиг сигнала. Смещение на полпериода нумерации отсчетов вызывает изменение знака синусного члена [32]:
s(n-no)= cos(2mno/N) Sh(m) - sin(2mno/N) Sh(M-m). (10.3.8)
Преобразование производной:
s'(n) = (2m/N) Sh(M-m). (10.3.9)
Функция корреляции:
Bs(k) = s(n), s(n+k) 0.5 [Sh2(m) + Sh2(M-m)] = Whs(m). (10.3.10)
Преобразование свертки:
s(n)*u(n) 0.5N[Sh(m)Uh(m)-Sh(M-m)Uh(M-m)+Sh(m)Uh(M-m)+Sh(M-m)Uh(m)]. (10.3.11)
Цифровая фильтрация методом свертки.Выполнение свертки через преобразование Хартли полностью аналогично циклической свертке через преобразование Фурье:
s(n) = x(n)*y(n)Xh(n)Yh(n) = Sh(n)s(n). (10.3.12)
Рис. 10.4.1. Свертка
функций во временной и спектральной
области.
Двумерная дискретная фильтрация.Спектр Хартли функции s(k, n), представленной в виде матрицы размера К x N (k=kx, n=ny), имеет вид вещественной матрицы Sh(m, p) также размером K x N, при этом прямые и обратные преобразования матриц записываются в виде:
Sh(m, p) = (1/KN)s(k, n) cas(2kn/K+2kn/N), (10.3.13)
s(k, n) = (1/KN)Sh(m, h) cas(2kn/K+2kn/N). (10.3.14)