10.2. Свойства преобразования
Линейность.Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.
ansn(t) anShn(). (10.2.1)
Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 10.2.1:
Рис. 10.2.1. Сигналы и их спектры. s0(t)=s1(t)+s2(t) S1h(f)+S2h(f) = S0h(f).
Четность и нечетность спектральных функций.Свойства четности преобразования Фурье распространяются и на преобразование Хартли. Для четных сигналов равен нулю интеграл (10.1.5) и в спектре Хартли отсутствует нечетная составляющая (функция Sh(f) – четная). Соответственно, для нечетных сигналов равен нулю интеграл (10.1.4) и спектральная функция нечетная. Это можно наглядно видеть на рис. 10.2.2.
Рис. 10.2.2. Преобразование Хартли четных и нечетных функций.
Энергетические и фазовые частотные спектры, как и для преобразования Фурье, также являются четными и нечетными соответственно.
Изменение аргумента функции(сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее хартли-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля (рис. 10.2.3). Действительно, если s(t) Sh(f), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s(x) = s(at) при x=at, получаем:
s(at) s(at) cas(2ft) dt = (1/a)s(x) cas(2fx/a) dx
s(at) (1/a) Sh(f/a). (10.2.2')
Выражение (10.2.2') действительно при а>0. При а<0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t=x/a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра:
s(at) -(1/a) Sh(f/a). (10.2.2'')
Обобщенная формула изменения аргумента:
s(at) (1/|a|) Sh(f/a), a ≠ 0 (10.2.2)
Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот, что полностью аналогично преобразованию Фурье.
Рис. 10.2.3.
Теорема запаздывания.Применяя замену переменной t-to= x, после соответствующих тригонометрических преобразований (выполнить самостоятельно) получаем (рис. 10.2.4):
s(t-to)s(t-to) cas(2ft) dt = cos(2fto) Sh(f) + sin(2fto) Sh(-f). (10.2.3)
Рис. 10.2.4. Изменение спектра сигнала при сдвиге.
Рис. 10.2.5. Фазовая
функция спектра.
Преобразование производной(дифференцирование сигнала):
s'(t) = d[s(t)]/dt = d[Sh(f) cas(2ft) dfdt =Sh(f) [d(cas(2ft))/dt] df
-2f Sh(-f) cas(2ft) df-2f Sh(-f). (10.2.4)
Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением зеркального изображения спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области-2f. Умножение на 2f приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.
Рис.
10.2.6. Спектры сигнала и его производной
Аналогично могут быть получены выражения для производных более высокого порядка. В частности, для второй производной:
d2[s(t)]/dt2= -(2f2 Sh(f).
Преобразование интеграласигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих соображений. Если имеет место y(t) = d[s(t)]/dt -2fSh(-f) = Yh(f), то должна выполняться и обратная операция:
s(t) =y(t)dt (1/2f) Yh(-f). (10.2.5)
Рис. 10.2.7. Спектры
сигнала и его интеграла
Преобразование свертки и произведения сигналов у Хартли в общем случае выглядит сложнее, чем в преобразовании Фурье. Для свертки сигналов имеем:
s(t) * u(t) 0.5 [Sh(f)Uh(f) - Sh(-f)Uh(-f) + Sh(f)Uh(-f) + Sh(-f)Uh(f)]. (10.2.6)
Для произведения сигналов:
s(t) u(t) 0.5 [Sh(f)*Uh(f) - Sh(-f)*Uh(-f) + Sh(f)*Uh(-f) + Sh(-f)*Uh(f)]. (10.2.7)
Однако это не более чем видимость, т.к. выполняя свертку через преобразование Фурье s(t)*u(t)S(f)U(f) мы производим перемножение двух комплексных функций A(f)-jB(f) с соответствующим суммированием также произведений четырех членов.
С позиций обработки и фильтрации данных, существенное значение имеет тот фактор, что если хотя бы одна из функций, входящих в формулу свертки, является либо четной, либо нечетной, то формулы прямых преобразований Хартли и Фурье для свертки полностью совпадают. Как правило, операторы фильтров для исключения сдвига фазы обрабатываемых данных выполняют симметричными, при этом преобразование Хартли имеет вид:
h(t) * s(t) Hh(f) Sh(f). (10.2.6')
Если оператор фильтра асимметричный (нечетный), то формула приобретает вид:
h(t) * s(t) Hh(f) Sh(-f). (10.2.6'')
Преобразование функции корреляции. В частотной области преобразование Хартли автокорреляционной функции, как и преобразование Фурье, представляет собой спектральную плотность мощности сигнала:
Bs() = s(t), s(t+) 0.5 [Sh2(f) + Sh2(-f)] = Whs(f). (10.2.8)
Учитывая четность автокорреляционной функции и спектра мощности, оно практически ничем не отличается от преобразования Фурье, за исключением алгоритма вычислений. На рис. 10.2.8 приведен пример вычисления автокорреляционной функции сигнала с использованием преобразования Хартли.
Рис. 10.2.8. Вычисление
корреляционной функции сигнала.
Sh(u, v) =s(x, y) cas[2(ux+vy)] dxdy, (10.2.9)
s(x, y) =Sh(u, v) cas[2(ux+vy)] dudv, (10.2.10)
Связь двумерного преобразования Хартли с преобразованием Фурье легко устанавливается аналогично одномерному преобразованию:
Sh(u, v) = Re(S(u, v)) – Im(S(u, v)). (10.2.11)
Соответственно, для двумерного ПХ сохраняются свойства четности и нечетности одномерного преобразования. Если функция s(x, y) обладает свойством круговой симметрии, то ее двумерное преобразование Хартли совпадает с двумерным преобразованием Фурье.
Основные свойства двумерного преобразования:
Подобие:
s(ax, by)(1/|ab|) Sh(u/a, v/b). (10.2.12)
Сдвиг:
s(x-a, y-b)cos(2(au+bv))Sh(u, v)+sin(2(au+bv))Sh(-u, -v). (10.2.13)
Модуляция:
s(x, y) cos(2(uox+voy)) 0.5 [Sh(u-uo, v-vo) + Sh(u+uo, v+vo)]. (10.2.14)
Корреляция:
B(x,y)T[Sh2(u, v) + Sh2(-u, -v)]. (10.2.15)
Произведение при разделении переменных:
s(x) h(x)0.5 [Sh(u, v)Hh(u, v) - Sh(-u, -v)Hh(-u, -v) +
+ Sh(u, v)Hh(-u, -v)+ Sh(-u, -v)Hh(u, v)]. (10.2.16)
Свертка:
s(x, y)*h(x, y)0.5T[Sh(u, v)Hh(u, v) - Sh(-u, -v)Hh(-u, -v) +
+ Sh(u, v)Hh(-u, -v)+ Sh(-u, -v)Hh(u, v)]. (10.2.17)