Сигналы и линейные системы
Signals and linear systems. Transformation Hartly
Тема 10с: преобразование хартли
Ни одна вещь не возникает беспричинно, но все возникают на каком-нибудь основании и в силу необходимости.
Демокрит. Древне-греческий философ, атомистик, V-IV в. до н.э.
Следовательно, если что-то уже появилось, необходимо срочно найти для нее соответствующую необходимость. Иначе пропадет без принесения всякой пользы для человечества.
Григорий Старцев. Казахстанский геофизик Уральской школы, ХХ в.
Содержание
Введение.
1. Основные сведения. Определение преобразования. Связь преобразований Фурье и Хартли. Энергетический и фазовый спектры.
2. Свойства преобразования. Линейность. Четность и нечетность спектральных функций. Измерение аргумента функции. Теорема запаздывания. Преобразование производной. Преобразование интеграла. Преобразование свертки и произведения. Преобразование функции корреляции. Двумерное преобразование Хартли.
3. Дискретное преобразование Хартли. Формулы преобразования. Спектры числовых рядов. Свойства дискретного преобразования. Цифровая фильтрация методом свертки. Двумерная дискретная фильтрация.
Литература.
Введение
Преобразование Хартли является аналогом преобразования Фурье и может применяться для спектрального анализа, фильтрации и обработки сигналов. Название преобразование получило по имени Р.Хартли, опубликовавшего в 1942 г. статью о паре интегральных преобразований - прямом и обратном, использующих введенную им функцию cas = cos + sin . Преобразование оставались в забвении до 80-х годов прошлого века.
Обращение к преобразованию Хартли было обусловлено ситуацией, сложившейся в ряде методов обработки информации, использующих вещественные последовательности данных (одномерных, двумерных, трехмерных), обработку которых желательно осуществлять в области вещественных чисел с помощью взаимно симметричных прямого и обратного преобразований. В отличие от преобразования Фурье, отображающего вещественные функции в комплексную область и несимметричного по комплексной переменной (изменение знака при переходе от прямого к обратному преобразованию), преобразование Хартли осуществляет преобразования только в вещественной области, отображая вещественные сигналы s(t) в вещественные S(), прямое и обратное преобразование Хартли полностью взаимно симметричны. Большой вклад в развитие преобразования внес Р. Брейсуэлл, разработавший основы теории непрерывного и дискретного преобразования Хартли, а также один из вариантов его быстрого преобразования. Применение преобразования перспективно для обработки изображений.
10.1. Основные сведения
Определение преобразования. Преобразование Хартли задается парой формул:
Sh() = (1/)s(t) cas t dt (10.1.1)
s(t) = (1/)Sh() cas t d (10.1.2)
где функция cas представляет собой сумму косинуса и синуса одного аргумента:
cas t = cos t + sin t. (10.1.3)
Множители 1/обусловлены применением в формулах аргумента. Они могут заменяться одним множителем 1/2 только в формуле (10.1.2), но это нарушает симметричность прямого и обратного преобразования и несколько осложняет алгоритмы вычислений. При необходимости применения симметричных алгоритмов целесообразнее в формулах использовать аргумент циклической частоты:
Sh(f) =s(t) cas 2ft dt (10.1.1')
s(t) =Sh(f) cas 2ft df (10.1.2')
На первый взгляд в формулах отсутствуют существенные отличия от интегральных преобразований Фурье, однако на практике эти различия могут быть достаточно ощутимыми, что определяется вещественным характером функции Sh(f).
Связь преобразований Фурье и Хартли хорошо просматривается при анализе свойств симметрии преобразований.
Допустим, имеется произвольная функция s(t)Sh(f), s(t)S(f), где Sh(f) и S(f) – результаты преобразования Хартли и Фурье, Хартли- и Фурье-образы функции s(t) соответственно. Любая функция y(x) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной компонент, и однозначно по ним восстановлена. Четная компонента определяется как полусумма функции y(x) и ее зеркального изображения y(-x), нечетная компонента определяется как полуразность этих функций и обладает свойством антисимметрии, т.е. y(-x) = -y(x). Запишем для преобразования Хартли:
Sh(f) =s(t) cas 2ft dt =s(t) cos 2ft dt + s(t) sin 2ft dt.
Sh(f) = Shsym(f) + Shasym(f),
Shsym(f) = [Sh(f)+Sh(-f)]/2 = s(t) cos 2ft dt, (10.1.4)
Shasym(f) = [Sh(f) - Sh(-f)]/2 = s(t) sin 2ft dt, (10.1.5)
где Shsym(f) и Shasym(f) – четная и нечетная компоненты Sh(f).
C другой стороны, для преобразования Фурье имеем:
S(f) =s(t) exp(-2ft) dt = A(f) – j B(f).
A(f) =s(t) cos 2ft dt, - четная вещественная часть спектра,
B(f) =s(t) sin 2ft dt, - нечетная мнимая часть спектра.
Сравнивая эти две группы выражений, нетрудно сделать выводы по формулам связи преобразований Фурье и Хартли:
S(f) = Shsym(f) – j Shasym(f), (10.1.5)
Sh(f) = A(f) - B(f). (10.1.7)
Таким образом, преобразование Фурье равно разности четной составляющей преобразования Хартли и нечетной составляющей, умноженной на j, а преобразование Хартли определяется как разность вещественной и мнимой составляющих преобразования Фурье.
Пример прямого и обратного преобразования Хартли для простого сигнала (гауссиан с быстро затухающей частотной характеристикой) и сопоставления четной и нечетной частей его спектра с действительной и мнимой частью спектра Фурье приведен на рис. 10.1.1.
Как можно видеть на рисунке, спектр Хартли Sh(f) даже такого простого сигнала, как гауссиан, выглядит достаточно сложно, равно как и его четная и нечетная составляющие, и мало пригоден для визуального анализа. Отметим, однако, что действительная и мнимая части преобразования Фурье, хотя и имеют определенный физический смысл, как амплитудные распределения косинусных и синусных колебаний, в качественном анализе сигналов также используются достаточно редко. Гораздо большее практическое значение для анализа имеют модуль и фаза спектра (амплитудно-частотная и фазочастотная характеристика) и спектр плотности мощности сигнала. Отметим также, что для преобразования Хартли не характерна избыточность преобразования Фурье, т.к. в общем случае вещественные функции Хартли эквивалентны сопряженным комплексным функциям Фурье.
Рис. 10.1.1.
Энергетический и фазовый спектры. Как известно, энергетический спектр преобразования Фурье (спектр плотности мощности сигнала) задается выражением:
W(f) = A2(f) + B2(f).
Частотный спектр плотности мощности сигнала не должен зависеть от формы математического представления спектра. Из этих соображений для вычисления энергетического спектра по спектру Хартли следует:
Wh(f) = (Shsym(f))2 + (Shasym(f))2 = [Sh(f)+Sh(-f)]2/4 +[Sh(f) - Sh(-f)]2/4,
Wh(f) = [Sh2(f)+Sh2(-f)]/2. (10.1.8)
Аналогично, вычисление фазовой частотной характеристики сигнала:
(f) = argtg(B(f)/A(f)) = argtg(-Shasym(f)/ Shsym(f)),
(f) = argtg(-[Sh(f) - Sh(-f)] / [Sh(f)+Sh(-f)]). (10.1.9)
Рис. 10.1.2.
С учетом всех вышеприведенных выражений преобразование Хартли может рассматриваться как гладкая форма представления вещественного сигнала. Будучи чисто вещественным, преобразование Хартли не требует других способов представления, тогда как другие способы могут быть непосредственно получены из него.