Раздел 7 ряды. Уравнения математической физики.

I. Числовые ряды.

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия над рядами.

2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

2.Функциональные ряды.

4. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.

6. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

3. Ряды Фурье.

7. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости.

8. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение.

4. Основные уравнения математической физики.

9. Волновое уравнение. Решение задачи Коши методом Фурье (разделения переменных).

10. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши методом Фурье.

Методические указания по изучению курса

I. Ряды. Уравнения математической физики.

I. Числовые ряды.

Среди достаточных признаков сходимости рядов с положительными членами наиболее эффективным является интегральный признак Коши. Поэтому, если другие признаки (1 и 2 признаки сравнения, признаки Коши и Даламбера) не позволяют решить вопрос о сходимости или расходимости числового ряда с положительными членами, то следует прибегнуть, если это возможно, к интегральному признаку Коши.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Решение: Воспользуемся признаком Даламбера. По условию

, следовательно , т.е. признак Даламбера не позволяет сделать заключение о сходимости или расходимости ряда. Поэтому используем интегральный признак Коши. Члены данного ряда положительны и убывают. В качестве функции , о которой идет речь в интегральном признаке,

возьмем при Эта функция непрерывна и убывает,

причем Так как несобственный интеграл

то данный ряд расходится.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

2. Докажите необходимый признак сходимости ряда.

3. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости (расходимости). Покажите, что сумма ряда равна сумме первых его n членов, сложенной с суммой остатка ряда.

4. Докажите признаки сравнения рядов с положительными членами. Приведите примеры применения этих признаков.

5. Докажите признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Приведите пример применения этого признака.

6. Докажите признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Приведите примеры применения этого признака.

7. Докажите интегральный признак сходимости ряда Коши. Приведите пример применения этого признака.

8. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Докажите, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.

9. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример на применения этого признака. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.

2. Функциональные и степенные ряды. Приложение

степенных рядов к приближенным вычислениям.

Следует отметить два метода отыскания частного решения дифференциального уравнения по заданным начальным условиям в виде ряда Тейлора: последовательного дифференцирования и неопределенных коэффициентов. Сумму конечного числа членов этого ряда можно принять за приближенное решение дифференциального уравнения.