Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых

Под углом между прямыми l₁ и l₂ плоскости

понимается наименьший (острый) из двух смежных

у глов, образованных этими прямыми.

Если прямые заданы уравнениями с угловым

коэффициентом y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂,

то угол φ между ними равен: tg φ = .

Условие параллельности прямых l₁ и l₂: k₁ = k₂ .

Условие перпендикулярности прямых l₁ и l₂: k₁ = – (или k₁ k₂ = –1).

Если прямые l₁ и l₂ заданы общими уравнениями

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0,

то угол φ между ними равен углу между их нормальными векторами = {A₁; B₁} и = {A₂; B₂}:

cos φ = = или tg φ = .

Условие параллельности прямых l₁ и l₂:

(или A₁ B₂ – А₂B₁ = 0).

Условие перпендикулярности прямых l₁ и l₂: A₁ А₂ + B₁B₂ = 0.

Для нахождения общих точек прямых l₁ и l₂ необходимо решить систему уравнений

или

При этом:

если , то имеется единственная точка пересечения прямых;

если , прямые не имеют общей точки, т.е. параллельны;

если , прямые совпадают.

Пример 8. Найти угол между прямыми:

а) у = 2х – 3 и у = х + 5; б) 2х – 3у + 10 = 0 и 5х – у + 4 = 0; в) у = 5х + 1 и у = 5х – 2.

• а) k₁ = 2, k₂ = => tg φ = = => φ = arctg (φ  37°);

б) = {2, –3}, = {5, –1} => ( , ) = 2  5 + (–3)  (–1) = 13,

| | = = , | | = =

cos φ = = = => φ = ;

в) k₁ = 5, k₂ = 5 => tg φ = 0 => φ = 0.

Пример 9. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

а) 3х + 5у – 9 = 0 и 10х – 6у + 4 = 0; б) 2х + 5у – 2 = 0 и х + у + 4 = 0;

в) 2у = х – 1 и 4y – 2x + 2 = 0; г) х + 8 = 0 и 2х – 3 = 0.

• а) А₁ = 3, В₁ = 5, С₁ = –9; А₂ = 10, В₂ = –6, С₂ = 4 => А₁  А₂ + В₁  В₂ =

= 3  10 + 5  (–6) = 0 => прямые перпендикулярны;

б) А₁ = 2, В₁ = 5, С₁ = –2; А₂ = 1, В₂ = 1, С₂ = 4 => = , = =>

=> ≠ => прямые не параллельны.

А₁  А₂ + В₁  В₂ = 2  1 + 5  1 = 7 ≠ 0 => прямые не перпендикулярны.

Следовательно, прямые пересекаются.

в) А₁ = 1, В₁ = –2, С₁ = –1; А₂ = –2, В₂ = 4, С₂ = 2 => = , = ,

= => = = => прямые совпадают.

г) х + 8 = 0  х = –8, 2х – 3 = 0  х = => прямые параллельны.

Пример 10. Через точку пересечения прямых 3х – 2у + 5 = 0, х + 2у – 9 = 0

проведена прямая, параллельная прямой 2х + у + 6 = 0. Составить ее уравнение.

• Найдем точку М пересечения данных прямых. Для этого решим систему уравнений , из которой получаем х = 1, у = 4, т.е. М (1; 4).

Уравнение искомой прямой должно иметь вид 2х + у + С = 0. Для нахождения С подставим в данное уравнение координаты точки М : 2  1 + 4 + С = 0 => С = –6.

Т.о., уравнение искомой прямой 2х + у – 6 = 0.

Пример 11. Найти координаты точки М₂, симметричной точке М₁(–3; 4)

относительно прямой 4х – у – 1 = 0.

• Точки М₁ и М₂ лежат на перпендикуляре к заданной прямой. Уравнение этого перпендикуляра y = k₁x + b, где k₁ = – , k = 4 – угловой коэффициент заданной прямой: k₁ = – . Для нахождения b подставим в уравнение перпендикуляра координаты точки М₁ : 4 = –  (–3) + b => b = . Следовательно, уравнение перпендикуляра y = – x + или х + 4у – 13 = 0.

Найдем координаты точки М пересечения данных прямых. Для этого решим систему уравнений , из которой получаем х = 1, у = 3, т.е. М (1; 3).

Точка М делит отрезок М₁М₂ пополам. Из соотношений 1 = и 3 = находим координаты х и у искомой точки М₂: х = 5, у = 2, т.е. М₂ (5; 2).