СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Вектор – направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается символом (или одной буквой: , , … , или: a, b, … ). Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора и обозначается | |, | |, |a|.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым

вектором и обозначается (0).

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным

вектором и обозначается через (е).

Единичный вектор, направление которого совпадает с

направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Два вектора, имеющие одинаковую длину и противоположные

направления, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается – .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на

одной прямой или на параллельных прямых. Записывают: || .

Три (и более) вектора называются компланарными, если они

лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два коллинеарных вектора и называются равными ( = ),

если они одинаково направлены и имеют равные длины.

Суммой двух векторов и называется вектор , соединяющий

начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора . Обозначение: = + .

Геометрически сумма векторов получается с помощью правил

«треугольника» (рис.1а) или «параллелограмма» (рис.1.б):

а) б)

Рис.1.

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что

+ = .

Обозначение: = – .

Справедливо равенство: – = + (– ).

Произведением вектора ≠ на число

λ ≠ 0 называется вектор, имеющий длину | λ | ∙ | | и направление,

совпадающее с направлением вектора , если λ > 0; противоположное ему, если λ < 0.

Обозначение: λ ∙ .

Каждый вектор равен произведению его модуля на его орт:

= | | ∙ .

Признак коллинеарности векторов: два ненулевых вектора

и коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них есть произведение другого на некоторое число: = λ .

Признак компланарности векторов: три ненулевых вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е. = λ₁ + λ₂ (λ₁ и λ₂ – одновременно не равные нулю числа).

Пример 1. В треугольнике АВС дано: = , = .

Точка М – середина стороны ВС. Выразить вектор

через векторы и .

• Через точку М проведем прямые, параллельные сторонам

АВ и АС. Получим параллелограмм АВ₁МС₁ (см. рис.).

Следовательно, = + . Т.к. В₁М и С₁М – средние

л инии, то АВ₁ = В₁В, АС₁ = С₁С и т.о., = + = ( + ).

Пример 2. В параллелограмме АВСD дано: = , = .

Выразить диагонали (векторы) и через и .

• См. рис.

= + , = – .

Пример 3. Даны векторы и . Коллинеарны ли векторы = – 2 и

= – + 6 ?

• = – – выполняется условие коллинеарности векторов => векторы и коллинеарны.

Проекцией вектора на о сь l называется

ч исло, равное д лине вектора , взятой со

з наком «плюс», если направление вектора

совпадает с направлением оси и со знаком Рис.2.

«минус» в противном случае. Точки и –

проекции точек А и В на ось l (рис.2).

Обозначение: или .

Основные свойства проекции:

1. ( + ) = + ;

2. (λ ) = λ ∙ ;

Если , , – орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами а_х, а_у, а_z:

= а_х ∙ + а_y ∙ + а_z ∙ .

Коэффициенты а_х, а_у и а_z линейной комбинации называются координатами вектора в базисе , , .

Обозначение: = { а_х, а_у, а_z } или = а_х ∙ + а_y ∙ + а_z ∙ .

Координаты вектора в базисе , , , = { а_х, а_у, а_z }, совпадают с координатами точки М – конца вектора = в прямоугольной системе координат Oxyz: М (а_х, а_у, а_z).

Длина вектора определяется по формуле | | = .

Вектор образует с координатными осями Ox, Oy и Oz углы α, β и γ соответственно.

Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов: cos α, cos β, cos γ, вычисляемых по формулам:

cos α = , cos β = , cos γ = .

Направляющие косинусы связаны соотношением

cos²α + cos² β + cos² γ = 1.

Координаты орта вектора – это его направляющие косинусы: = .

Пусть векторы и заданы своими координатами:

= { а_х, а_у, а_z } и = { b_х, b_у, b_z }.

Векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т.е. =  .

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

||  .

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число:

= { а_х b_х, а_y b_y, а_z b_z },

λ = { λ а_х, λ а_у, λ а_z }.

Вектор = , соединяющий начало координат с произвольной точкой М (x, y, z) пространства называется радиус-вектором точки М. Координаты точки – это координаты ее радиус-вектора = { x, y, z } или = x ∙ + y ∙ + z ∙ .

Если вектор = задан точками А(x₁, y₁, z₁) и В(x₂, y₂, z₂), то его координаты а_х, а_у, а_z вычисляются по формулам

а_х = x₂ – x₁, a_y = y₂ – y₁, a_х = z₂ – z₁:

= = { x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁}.

Пример 4. Даны точки А (3; –4; 1) и В (4; 6; –3). Найти координаты вектора = .

• Из координат конечной точки вычитаем координаты начальной точки. Имеем:

а_х = 4 – 3 = 1, a_y = 6 – (–4) = 10, а_z = –3 – 1 = –4. Т.о., = = {1; 10; –4}.

Пример 5. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (1; –2; 3),

В (3; 2; 1), С (6; 4; 4). Найти координаты его четвертой вершины D.

• Обозначим координаты вершины D через х, у и z, т.е. D (х; у; z). Имеем: = . Находим координаты векторов и :

= {6 – 3; 4 – 2; 4 – 1} = {3; 2; 3}, = {x – 1; y + 2; z – 3}.

Из равенства векторов и следует: x – 1 = 3, y + 2 = 2, z – 3 = 3. Отсюда:

x = 4, y = 0, z = 6. Т.о., D (4; 0; 6).

Пример 6. Найти координаты вектора , если известно, что он направлен в

противоположную сторону к вектору = 5 – 4 + 2 , и его модуль равен 5.

• Можно записать, что = 5 . Т.к. вектор направлен в противоположную сторону к вектору , то = – . Найдем орт . Из равенства = | |  находим = . Но | | = = 7. Значит, = – + . Следовательно, = – + – и = 5 = – + – .

Пример 7. Вектор составляет с осями Ох и Оу углы α = 60° и β = 120°. Найти

его координаты, если | | = 2.

• Пусть х, у, z – координаты вектора , т.е. = {x; y; z}. Координаты вектора найдем из соотношений cosα = , cosβ = , cosγ = . Предварительно найдем cosγ из соотношения cos²α + cos²β + cos²γ = 1: cos²γ = 1 – cos²α – cos²β =

= 1 – – = => cosγ =  . Условию задачи удовлетворяют два вектора: с направляющими косинусами cosα = , cosβ = – , cosγ = и с направляющими косинусами cosα = , cosβ = – , cosγ = – .

Т.к. направляющие косинусы – это координаты орта вектора , то

= | |  = {2  ; 2  ; 2  } = {1; –1; },

= | |  = {2  ; 2  ; 2  } = {1; –1; – }

Пример 8. При каких значениях α и β векторы = –2 + 3 + α и

= β – 6 + 2 коллинеарны?

• Т.к. || , то их координаты должны быть пропорциональными, т.е. должны выполняться равенства = = . Отсюда находим, что α = –1, β = 4.

Пример 9. Разложить вектор = {9; 4} по векторам = {1; 2} и = {2; –3}.

• Требуется представить вектор в виде линейной комбинации векторов. и , т.е. в виде = λ +  , где λ и  – числа. Используя определение равенства векторов, получим {9; 4} = λ{1; 2} + {2; –3} или . Решая данную систему уравнений относительно λ и  , получим λ = 5,  = 2. Следовательно, = 5 + 2 .

Пример 10. Дана сила = {4; 4; –4 }. Найти величину и направление .

• Величина силы: | | = = 8.

Направляющие косинусы вектора :

cosα = = = , cosβ = = = , cosγ = = = .

Т.о., сила = 8 действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы α = 60°, β = 60°, γ = 135°.

2. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и (рис.3) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними:

( , ) = | |∙| |∙ cos φ. (1)

Обозначение: ( , ) или ∙ .

Рис.3.

Формулу (1) можно записать в виде:

( , ) = | |∙ пр или | | ∙ пр . (2)

Из формул (2) имеем: пр = , пр = .

Свойства скалярного произведения:

1. ( , ) = ( , ).

2. ( , ( + )) = ( , ) + ( , ).

3. ((λ ), ) = λ ( , ).

4. = | | – скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

5. Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда cos φ = 0 (φ = π/2) ( перемножаемые векторы перпендикулярны): ( , ) = 0  _┴ (или = , или

= ). В частности: ( , ) = ( , ) = ( , ) = 0.

Если векторы и заданы своими координатами

= { а_х, а_у, а_z }, = { b_х, b_у, b_z }, то ( , ) = а_х b_х + а_у b_у + а_z b_z .

Пример 11. Векторы и образуют угол φ = π. Зная, что | | = 10 и | | = 2,

вычислить ( + 2 , 3 – ).

• Согласно свойствам скалярного произведения

( + 2 , 3 – ) = 3 ( , ) – ( , ) + 6 ( , ) – 2 ( , ) = 3 ² + 5 ( , ) – 2 ² =

= 3 | |² + 5 | |  | |  cos φ – 2 | |² = 3  100 + 5  10  2  – 2  4 = 300 – 50 – 8 = 242.

Пример 12. Дано: | | = 2, | | = 1, φ = ( ^ ) = . Найти модуль вектора

= 2 – 3 .

• Скалярный квадрат вектора : | |² = ² = ( , ) = (2 – 3 , 2 – 3 ) =

= 4 ( , ) – 6 ( , ) – 6 ( , ) + 9 ( , ) = 4 ² – 12 ( , ) + 9 ² =

= 4 | |² – 12 | |  | |  cos φ + 9 | |² = 4  4 – 12  2  1  + 9  1 = = 16 – 12 + 9 = 13.

Модуль вектора : | | = .

Пример 13. Найти вектор , зная, что  , = {1; 0; 1},  , = {0; 2; –1},

проекция вектора на вектор = {1; 2; 2} равна 1.

• Пусть вектор имеет координаты = {x; y; z}.

1)  => ( , ) = 0 => x + z = 0;

2)  => ( , ) = 0 => 2y – z = 0;

3) pr_c = 1 => = 1 => || | | = = 3|| => x + 2y + 2z = 3.

Получили систему уравнений .

Решаем ее и находим: x = – , y = , z = . Т.о., = – + + .

Пример 14. Даны вершины треугольника А (2; 3; –1), В (4; 1; –2), С (1; 0; 2). Найти:

а) внутренний угол при вершине С;

б) .

• а) Угол φ при вершине С есть угол между векторами и . Координаты этих векторов:

={4 – 1; 1 – 0; –2 – 2} = {3; 1; –4}, ={2 – 1; 3 – 0; –1 – 2} = {1; 3; –3}.

Модули этих векторов: | | = = , | | = = .

cos φ = = = => φ = arccos .

б) = = .

Пример 15. Единичные векторы , , удовлетворяют условию + + = .

Найти ( , ) + ( , ) + (  ).

• Последовательно умножим скалярно равенство + + = на , , :

( , ) + ( , ) + (  ) = 0,

( , ) + ( , ) + (  ) = 0,

( , ) + ( , ) + (  ) = 0,

Сложим все три равенства. С учетом того, что ( , ) = ( , ) = (  ) = 1, получим 2(( , ) + ( , ) + (  )) = –3. Следовательно,

( , ) + ( , ) + (  ) = –1,5.