- •Скалярное произведение векторов
- •2. Векторное произведение векторов
- •3. Смешанное произведение векторов
- •Аналитическая геометрия
- •1. Прямоугольная система координат
- •Полярная система координат
- •Прямая на плоскости Различные виды уравнения прямой
- •У равнение прямой с угловым коэффициентом:
- •О бщее уравнение прямой:
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •Нормальное уравнение прямой:
- •У равнение прямой в полярных координатах:
- •Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых
- •Расстояние от данной точки до данной прямой
- •Плоскость в пространстве Различные виды уравнения плоскости
- •У равнение плоскости, проходящей через
- •О бщее уравнение плоскости:
- •Нормальное уравнение плоскости:
- •Расстояние от данной точки до данной прямой
- •П рямая в пространстве Различные виды уравнения прямой в пространстве
- •К анонические уравнения прямой,
- •Параметрические уравнения прямой, проходящей через
- •Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Кривые второго порядка
- •Окружность
2. Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора на
вектор называется вектор , (рис.4) который
1) перпендикулярен векторам и , т.е.
и (перпендикулярен плоскости, в
которой лежат вектора и ); Рис.4.
имеет длину, численно равную площади параллелограмма,
построенного на векторах и как на сторонах, т.е. | | = | | ∙ | | ∙ sin φ, где φ = ;
векторы , и образуют правую тройку. Три
некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую (левую) тройку, если с конца вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки (соотв. по часовой стрелке).
Обозначение: [ , ] или х .
Векторное произведение можно выразить формулой [ , ] = S ∙ , где - орт направления [ , ].
Свойства векторного произведения:
[ , ] = – [ , ].
[ , ( + )] = [ , ] + [ , ].
3. [λ , ] = [ , λ ] = λ [ , ].
4. Векторное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда sin φ = 0 (φ = 0) (перемножаемые векторы коллинеарны):
[ , ] = || (или = , или = ).
В частности: [ , ] = [ , ] = [ , ] = .
Если векторы и заданы своими координатами
= { ах, ау, аz }, = { bх, bу, bz }, то
[ , ] = или
[ , ] = .
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :
S = | [ , ]| .
Площадь треугольника, построенного на векторах и :
SΔ = | [ , ] | .
Момент силы относительно точки: пусть в точке А приложена сила = . Момент силы относительно точки О (рис.5) – это вектор = [ , ] .
Линейная скорость вращения: скорость точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера: = [ , ],
где – радиус-вектор точки М (рис.6).
Рис.5. Рис.6.
Пример 16. Векторы и образуют угол φ = π. Зная, что | | = 2 и | | = 6,
вычислить: а) | [ , ] |, б) | [2 + 3 , – 4 ] | .
• a) | [ , ] | = | | | | sin φ = 2 6 = 6
б) [2 + 3 , – 4 ] = 2 [ , ] – 8[ , ] + 3 [ , ] – 12 [ , ] = || [ , ] = [ , ] = || = 3 2 + 5 ( , ) – 2 2 = – 8[ , ] – 3[ , ] = – 11[ , ].
Следовательно, | [2 + 3 , – 4 ] | = | –11[ , ] | = 11 | [ , ] | = || см. а) || = 11 6 = 66.
Пример 17. Найти площадь треугольника с вершинами А (1; 2; 0), В (3; 2; 1),
С (–2, 1; 2).
• Площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. S = | [ , ] |. . Координаты этих векторов: = {3 – 1; 2 – 2; 1 – 0} = {2; 0; 1}, = {–2 – 1; 1 – 2; 2 – 0} = {–3; –1; 2}. Тогда [ , ] = = – 7 – 2 =>
=> | [ , ] | = = 3 => S = .
Пример 18. Сила = {2; –4; 5} приложена к точке А (0; 2; 1). Определить момент этой силы относительно точки О (–1; 2; 3).
• Момент силы относительно точки О есть вектор = [ , ]. Координаты вектора : = {–1; 0; 2} =>
=> = [ , ] = = 8 + 9 + 4 => = {8; 9; 4}.