8. Частные производные высших порядков
Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,
,
и, аналогично,
, .
Производные и называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: , , и т. д.
Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.
Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга или верхней полуплоскости ) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.
[править]Теорема
Предположим, что — некоторый -угольник, а функция осуществляет конформное отображение на . Тогда можно представить в виде
,
где — прообразы вершин на вещественной оси, — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а и — так называемыеакцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.
В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид
,
то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.
Трудность использования этих формул состоит в том, что точки , как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).
9. Дифференцирование сложной функции
Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке .
]Одномерный случай
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:
Замечание
В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции где принимает следующий вид:
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции в точке имеет вид:
где — дифференциал тождественного отображения :
Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Многомерный случай
Пусть даны функции где и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
В частности, матрица Якоби функции является произведением матриц Якоби функций и
Следствия
Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
Для частных производных сложной функции справедливо
Дифференцирование неявных функций
Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х.
а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ;
б) из полученного уравнения выразим .
Пример: .