Тема . Ряды динамики

Ряды динамики характеризуют изменение уровней показателя во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: время t и конкретное значение показателя /уровень ряда/ У.

Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью показателей, получаемых в результате сравнения уровней, к таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

Система средних показателей включает средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

Средний уровень моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической моментного ряда:

,

где y_1,……..y_n - уровни периода, за которые делается расчёт;

n - число уровней;

n-1 - длительность периода времени.

Средний уровень моментных рядов с неравностоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

,

где Y₁,Y_i+1 уровни рядов динамики;

t - интервал времени между смежными уровнями.

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. Ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания. Каждое значение временного ряда может состоять из следующих составляющих: тренда, циклических сезонных и случайных колебаний.

Тренд это общая направленность изменений определённых значений, взятых на отрезке времени.

Циклические колебания это колебания относительно линии тренда для периодов свыше одного года.

Сезонные колебания показывают периодичность колебаний на протяжении года или более.

Случайные колебания представляют собой случайные элементы, которые невозможно предугадать.

Применение метода регрессии временных рядов. При этом фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой. Изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени:

.

Для аналитического выравнивания временного ряда наиболее часто используются следующие виды трендовых моделей:

1.Линейная функция.

2. Экспотенциальная функция.

3. Гиперболическая функция.

Метод аналитического выравнивания ряда динамики, выполняемый по уравнению прямой.

Уравнение прямой: ,

где - значения выровненного ряда;

b₀ и b₁ параметры прямой;

t - показатель времени.

Для определения параметров b₀ и b₁ решается следующая система нормальных уравнений:

,

где Y - фактические уровни ряда динамики;

n - число членов ряда.

Прогноз на будущее определяется по уравнению прямой.

Экспоненциальное сглаживание ряда динамики.

Каждое сглаженное значение рассчитывается путём сочетания предыдущего сглаженного значения и текущего значения временного ряда. В этом случае текущее значение временного ряда взвешивается с учётом сглаживающей константы.

Расчёты производятся по следующей формуле:

,

где S_t - текущее сглаженное значение;

X_t - текущее значение временного ряда;

S_t-1- предыдущее сглаженное значение;

- сглаживающая константа, которая обычно равна 0,1 или 0,3.

Прогноз на будущее производится по указанной выше формуле. Более сложная форма метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса распределяются по экспоненциальному закону. Такая взвешенная скользящая средняя характеризует значения динамического ряда в конце интервала сглаживания_, т.е. является характеристикой последних уровней ряда.

Экспоненциальная средняя первого порядка:

,

где - экспоненциальная средняя первого порядка;

- коэффициент сглаживания;

Y_t-1 - впереди идущий показатель . Экспотенциальная средняя К-го порядка:

,

где – экспоненциальная средняя впереди идущего К-го порядка. Коэффициенты полиномов, используемых для прогнозирования, для линейной модели имеют следующий вид:

,

,

где и - экспотенциальная средняя первого и второго порядка;

- коэффициент сглаживания.

Выровненные значения показателей будут равны:

,

где t - показатель времени, равный единице.

Прогнозную оценку производим по следующим формулам и согласно схеме:

1. Определяем скользящие средние:

2. Коэффициенты полиномов:

3. Подставляем значения параметров а₀ и a₁ в уравнение прямой

.

Сезонные колебания. Используются методы сложения и умножения. Метод сложения используется в случаях, когда сезонные составляющие относительно постоянные по всему анализируемому временному периоду. При этом значение временного ряда можно представить как сумму тренда и сезонной составляющей, по следующей формуле:

X_i =Т_i+S_i,

где X_i - фактическое значение в периоде;

T_i -тренд в периоде;

S_i - сезонные отклонения в периоде .

Метод умножения используется в тех случаях, когда колебания показателя увеличиваются по временному периоду и определяется по следующей формуле:

X_i =Т_i*S_i.

Чтобы спрогнозировать в следующем периоде времени определяют тренд, например, по скользящим средним и прибавляют значения сезонных колебаний при методе сложения, а при методе умножения умножают на значения сезонной составляющей.

Случайные изменения /колебания/ показателей встречаются в большинстве реальных временных рядов. Определение степени и величины этих случайных колебаний помогают в установлении точности примененной модели прогнозирования. Такие случайные колебания можно рассматривать в качестве ошибок прогноза. Эти ошибки нужно выявлять путём сопоставления прогнозной модели с реально полученными показателями.

При оценке эффективности модели прогнозирования используются статистические показатели, в частности средняя ошибка и среднеквадратическая ошибка.