Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;

• противоположные углы равны;

• диагонали точкой пересечения делятся пополам;

• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d₁²+d₂²=2(a²+b²).

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

• ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

• если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

• если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

• если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

• все свойства параллелограмма;

• диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

• все свойства параллелограмма;

• диагонали перпендикулярны;

• диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

1. Параллелограмм является ромбом, если:

2. Две его смежные стороны равны.

3. Его диагонали перпендикулярны.

4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

• все углы квадрата прямые;

• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.

2. Противоположные стороны попарно равны.

3. Противоположные углы попарно равны.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. 

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. 

Средней линией трапеции называется отрезок, соединящий середины боковых сторон трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.

Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых расположена внутри того угла, а другая - внутри угла, вертикального к данному.

Доказательство.

Рассмотрим угол с вершиной B внутри круга, A и C - точки пересечения его сторон с окружность, а A₁ и C₁ - вторые точки пересечения прямых AB и CB с окружность (см рис). Угол ABC является внешним углом треугольника A₁BC. Значит, ABC = AA ₁ C +FC ₁ CA ₁Но по теореме 5.4 каждый из углов в правой части того равенства измеряется половиной соответствующей дуги: AС и A₁C₁. Таким образом, угол ABC измеряется полусуммой дуг AC и A₁C₁.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

P1=P(ABC) и P2=P(A1B1C1), то P1:P2=k. A. A1. B. C. C1. B1.

S/S' = (AC/A'C' )2.

Пропорциональные отрезки в треугольнике

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника:

Теорема.  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.