Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными. 

Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами. (обычно эти углы равны)

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , а третья сторона – основанием . 

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки.

Эта точка (О) называется центром окружности.

Расстояние (r) от точки окружности до ее центра называется радиусом окружности.

Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r).

Касательная — прямая (а), проходящая через точку (А) окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется.

При этом данная точка (А) окружности называется точкой касания.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Круговой сектор — часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.

Круговой сегмент — общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга.

Две окружности являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда   и 

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 1: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 2: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема 3: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Доказательство.

Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Пусть A 1 A 2... A n – данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – ( n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° ( n – 2).

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC и проведем через вершину B прямую, параллельную AC (см рис). Имеем ÐKBM = ÐBAC, поскольку эти углы являются соответственными, образованными при пересечении параллельных CA и BM секущей AB. Равными являются также углы ACB и CBM, так как угол, вертикальный к ÐCBM, является соответственным для Ð ACB (здесь секущей является CB ). Таким образом, Ð CAB + Ð ACB + Ð ABC = Ð MBK + ÐMBC + Ð ABC = 180°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Теорема. Внешний угол всякого треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним.