Глава 1. Начальные сведения работы в mathcad
1.1 Описание интерфейса, настройка, ввод и способы редактирования документа, блоки, функции.
При первом открытии нового документа на экране появляется рабочая область со стандартным для Windows-приложений раскрывающимся меню, а также специальными панелями инструментов (рис. 1.1):
Рис. 1.1. Окно документа Mathcad 14 с раскрытыми палитрами.
Панель Математика включает в себя 9 раскрывающихся кнопочных палитр, которые можно размещать в любом свободном месте рабочего стола. Если на экране её нет, то её предварительно активируют через Вид / Панели инструментов. Кратко перечислим список математических палитр – это Калькулятор для ввода арифметических операций и некоторых часто используемых функций; Матрица для ввода и обработки векторов и матриц; Булева алгебра для ввода логических операторов; Программирование:
;
Символьные – для ввода символьных операций; Греческий <αβ> – для ввода греческих букв; Вычисление – для ввода знаков присваивания и равенств :
;
Математический анализ – для ввода производных, интегралов, сумм, кратных произведений, пределов:
График – для построения двумерных и трёхмерных графиков разного вида, векторных полей, полярных координат.
Документ формируется из формульных, графических и текстовых блоков. Блоки вводятся через курсор, который может принимать три вида: красного крестика – визира (позиционирование), синего уголка (ввод чисел и формул), красной вертикальной черты (ввод текста). Изменение направления синего курсора при редактировании формул выполняется клавишей <Ins>. Нажатием клавиши < " > при латинской раскладке клавиатуры осуществляют переход в текстовый блок.
Каждый блок или их группу можно перемещать, предварительно выделив (тогда они окажутся внутри пунктирных прямоугольников). Командой Регионы из меню Вид можно увидеть все блоки на сером фоне, что полезно для устранения наложения их командой Разделение регионов в меню Формат. С помощью опции Вид / Обновить можно очиститься от визуального сора, остающегося иногда после редактирования текущей страницы. Вычислительные блоки можно использовать в качестве комментариев, если сделать их невычисляемыми и пассивными, вызвав окно свойств математического выражения Сервис / Отключить вычисления. Если в документе содержится несколько самостоятельных вычислительных частей и в данный момент нужна только одна из них, удобно отключить остальные. Для этого следует выделить уравнение, вычисление которого нежелательно, и в контекстном меню выбрать Отключить вычисления. То же можно сделать и с графиком, на время «заморозив» его таким же образом.
Тусклые горизонтальные и вертикальные линии делят рабочее пространство на экранные страницы, которые нумеруются сначала сверху – вниз, а затем снова наверх – вправо. Тем не менее, вертикальные линии не оказывают никакого влияния на последовательность вычислений, которая для всей рабочей области одна: слева – направо – вниз. Они важны только для постраничной последовательности распечатки документа.
Команда Разрыв страницы обеспечивает вставку горизонтальной линии для разрыва страницы на месте красного курсора. Это важно, чтобы графики или единые смысловые области не разрывались на части разными страницами Разрыв можно аннулировать, если его выделить и нажать клавишу <F3>.
По умолчанию Mathcad работает в режиме автоматических вычислений. На ручной режим Сервис / Вычислить / Вычислить сейчас или Пересчитать документ целесообразно переходить только тогда, когда нужно изменить сразу много исходных данных. В этом случае Автоматический режим будет тормозить всю работу, т.к. после каждого шага изменения данных всё пересчитывается. При отключении автоматического режима пользователь должен самостоятельно инициировать возобновление вычислений. Команда Вычислить сейчас < F9 > производит перерасчёт только до видимого участка рабочего листа, а <Пересчитать документ> позволяет делать это каждый раз для всего документа.
Рис. 1.2. Настройка системных переменных.
В окне Параметры документа меню Сервис через закладку Встроенные переменные происходит настройка системных переменных (рис. 1.2), особенно важной из которых является TOL. Она задаёт погрешность завершения вычислительных итераций, т.о. её величина влияет на точность и длительность расчётов. Внутри белых окошечек справа от имени системной переменной стоят их значения по умолчанию, которые можно изменять.
Переменная ORIGIN определяет, с какого целого числа начинать нумерацию строк и столбцов по порядку следования в массиве или у вектора. По умолчанию она равна нулю, тогда первый элемент будет считаться с нуля, поэтому предпочтительнее выбирать единицу. CTOL – критерий точности численного решения корней систем уравнений (или задач, где используют вычислительную процедуру Given), аналогична в этом TOL.
Идентификаторы математических переменных и функций могут включать как латиницу, так и греческие буквы, цифры, символ < - > или < % >, верхний штрих, но первой в имени должна идти буква (или символ <∞>). Приэтом, строчные буквы и прописные отличаются. Имена определяемых пользователем переменных не должны совпадать с именами встроенных функций, системных переменных, и пересекаться с именами заданных ранее вами функций, т.е. должны быть в этом смысле уникальны. В названии допустим и нижний индекс-подтекст, который можно набрать, воспользовавшись клавишей < . >. Нижняя цифровая индексация элементов будущих матриц и векторов вводится после имени массива через клавишу < [ >.
Русское имя переменной или имя с сомнительным первым символом желательно предварить пробелом. Пробел или несколько пробелов сами могут быть именем невидимой переменной. Другие оригинальные способы записи имён переменных и как это сделать, чтобы не вызвать конфликтных ситуаций в системе, подробно описываются на с. 72 – 80 в [3].
Можно использовать возможности изменения стиля написания идентификатора – так, например, вектора и матрицы в математической литературе обычно выделяются полужирным шрифтом.
В таком случае, изменённый стиль воспринимается в Mathcad отличительным признаком идентификатора переменной. Переопределение стиля можно осуществить в окне Формат уравнений, вызвав его командой Формат / Уравнение (рис. 1.3). Для изменения стиля, например на полужирное начертание, после кнопки Изменить в появившемся диалоговом окне установите требуемый стиль; закройте через < ОК > оба окна и стиль становится доступным к выделенному идентификатору через панель форматирования.
Рис. 1.3.Окно изменение стиля идентификатора
Основным знаком присваивания или задания является знак < := >, вводимый через двоеточие (рекомендуется и просто < = > ) или сочетанием клавиш < Shift > + < ; >. Если же вы хотите видеть результат вычисления, то надо использовать только < = > . Жирный знак равенства < ═ > ( Ctrl + < = >) используют только в логических выражениях и при записи алгебраических уравнений в символьных операциях. Знак глобального присваивания < ≡ > «работает» в любой части документа, его видят все части документа, как сверху (т.е. выше), так и левее от него. (Но пользоваться им нежелательно на
начальном этапе, т.к. будет затруднено понимание последовательности алгоритма вычислений при проверке.) Им пользуются только в случаях, когда необходимо задать глобальные константы.
Оператор в виде стрелки вправо < → > ( [Ctrl] + [Shift] + [.] ) имеет отношение к выводу результата аналитического (символьного) преобразования алгебраического выражения. Операторы символьной алгебры неправильно вводить с клавиатуры. – Для этого служит специальная палитра Символьные.
При символьных операциях целесообразно до завершения редактирования вводимых формул и выражений отключать автоматический режим вычислений (см. выше), поскольку возможны зацикливания при неправильном вводе. Тандем операторов < := > и <→> эквивалентен режиму Оптимизировать из контекстного меню на месте выделенной формулы, что соответствует проведению аналитических упрощений. При состоявшейся оптимизации, справа от формулы появится красная звёздочка, а не сразу же результативное выражение, как в случае с тандемом < := > + < → >. Но если кликнуть 2 раза по этой звёздочке, то можно увидеть и результат символьного преобразования. Предварительное проведение символьных, упрощающих операций (< ■ simplify → > или Сервис / Оптимизировать) заметно сокращает время получения численного результата в сложных алгебраических выражениях (рис. 1.4):
Рис. 1.4. Символьная процедура алгебраического упрощения .
В примере вычисления несобственного интеграла с параметром (рис.1.5) интеграл представлен как функция пользователя. Определение последней имеет следующий формальный вид:
имя функц.(её список формальных параметров) : = арифметическое выражение, зависящее от её параметров
Рис. 1.5. Символьный расчёт несобственного интеграла.
При таком порядке задания функции, - в качестве её формальных параметров должны присутствовать только имена локальных переменных, как аргументов (но не алгебраические выражения !). Приэтом, не имеет значение, были ли они ранее определены или уже использовались в рабочем документе.
При вычислении значений функции пользователя достаточно записать имя функции и в скобках привести список её фактических параметров (в данном случае параметр р):
Рис. 1.6. Расчёт интеграла через подпрограмму-функцию.
В отличие от формальных, фактические параметры указывают, при каких конкретных численных значениях аргументов будет вычисляться функция. В качестве фактических параметров могут выступать константа, переменная, арифметическое выражение. Очевидно, что количество и порядок следования фактических и формальных параметров должен быть одинаков по их соответственому смыслу.
В Mathcad предусмотрен и свой широкий набор встроенных математических функций, ввод которых удобно производить с помощью диалогового окна Вставить функцию (или кнопкой < f(x) >), где присутствуют два прокручиваемых списка (рис. 1.7). – Левый список содержит названия групп, на которые разбиты встроенные функции, а правый – непосредственные идентификаторы этих функций:
Рис. 1.7. Диалоговое окно Вставить функцию.
Внизу под списками приводится краткое описание и спецификация выделенной вами в правом списке функции. Для появления соответствующего шаблона выбранной функции на рабочем листе, - надо кликнуть в этом окне по кнопке ОК. Затем на месте чёрных квадратов в скобках после имени функции вводятся идентификаторы конкретных параметров этой функции (или логическое выражение, в случае функции if).
Для задания упорядоченного ряда значений, например, с целью, провести затем с ним заданное количество аналогичных вычислений, в Mathcad используют понятие ранжированной переменной. Простейшим примером является вектор конечного натурального ряда.
Чтобы определить ранжированную переменную, используют кнопку <m..n> матричной палитры или клавишу < ; > на клавиатуре. (Если вводить точки с клавиатуры, то система выдаст ошибку.) Перед горизонтальным двоеточием < .. > вводят сначала первое значение ранжированной переменной, которое она должна принимать, а после - , соответственно, последнее её значение:
I := 0..9
В этом случае шаг изменения переменной I будет равен 1. Как сделать его другим, объясним на примере. Пусть начальное значение переменной k равно 7 и она должна уменьшать его с шагом 4 до -1, то тогда она определяется следующим образом:
k := 7,3.. -1
В приведённом выше примере (рис. 1.6) расчёта несобственного интеграла при разных значениях его параметра-степени p, величина этой ранжированной переменной изменяется дискретно от 0.1, каждый раз увеличиваясь с шагом 0.1, достигает своего последнего значения 0.5.
Ранжированная переменная работает наподобие цикла в программировании, проходя все свои промежуточные значения с фиксированным шагом, позволяет существенно сократить количество формул в однообразных вычислениях, где она присутствует. Это очень удобно при определении векторов и подготовки графиков.
Но ранжированная переменная не даёт возможности отдельного использования её частных значений. Чтобы иметь доступ к каждому значению переменной, которые она может принимать, она должна быть обязательно задана в виде вектора или матрицы.
Элементы вектора (матрицы) являются индексированными по положению или порядку следования. Нижняя числовая граница их индексации в Mathcad определяется, как говорилось выше, системной переменной ORIGIN. Индексы, т.е. целые неотрицательные числа, записываются снизу справа (подстрочно) к имени массива: vi , Mi,j , a3 и т.д. Задать массив можно как по-элементно (как для обычных переменных), так и через специально вызванный матричный шаблон на палитре Матрица.
Иногда возникает необходимость выделить из матрицы тот или иной столбец. Для этого удобно воспользоваться специальным оператором на панели Матрица < M<i> > (или < Ctrl > + 6), где i – номер нужного столбца матрицы. Имеются и другие полезные операции:
|М| - вычислить определитель матрицы (или |v| модуль для вектора v); Мт – транспонирование матрицы, ΣМ – суммировать все элементы матрицы; М-1 – вычислить обратную матрицу, а также есть операторы скалярного и векторного произведений: x·y , x×y.
В Mathcad также используются и «гнездовые» матрицы, в которых элементами являются тоже матрицы, как например, присутствующая здесь ниже матрица М, т.к её элементами являются матрицы с и d:
Для отображения всех элементов гнездовых матриц, надо воспользоваться вкладкой Параметры отображения в окне Формат результата, отметив опцию Развёртывать вложенные массивы (рис. 1.8). Так будет, например, выглядеть матрица М после такого развёртывания:
Рис. 1.8. Установка опций для отображения гнездовых матриц.
При стандартных настройках в Mathcad десятичный формат числа предусматривает отображение его цифр до 3-го знака после запятой:
Рис. 1.9. Окно форматирования числового результата в Mathcad.
Но при необходимости, десятичный формат числа можно расширить вплоть до 15 знака после запятой, если поставить синий курсор в цифры результата и вывести двойным левым щелчком мыши окно Формат результата (рис. 1.9). Если сделать это через стандартную панель инструментов Формат / Результат, то изменения коснутся всего листа. При желании результат можно вывести в виде рациональной дроби, настроив его вид в этом же окне:
Вводить исходные данные через таблицу Excel в ряде случаев удобнее, используя автозаполнение ячеек и др. инструменты Excel. Это возможно сделать в Mathcad цепочкой команд Вставка / Компонент / Microsoft Excel, а далее в диалоговом окне Мастер установки расширения Excel отметить галочкой Создать из файла и через кнопку Обзор указать его расположение (адрес). Затем нужно указать область (адресацию смежных ячеек) из страницы Excel, откуда в переменную Mathcad будет передана информация (Вывод – рис. 1.10).
Рис. 1.10. Передача данных из Excel в Mathcad.
После ввода данных и их переопределения новой переменной массива (копировать – вставить), можно освободить Mathcad-документ от привязки к документу Excel (по его адресу). В систему можно импортировать данные, находящиеся и в формате текстового приложения. Интересующихся пользователей можно отослать к соответствующей справочной литературе [1 – 3].
В Mathcad заложены «продвинутые» возможности вывода графической информации (вплоть до 3D и анимации). Нам пока достаточно ориентироваться на простую двумерную графику (кнопка на графической палитре График Х-У или @ на клавиатуре). Первоначальное место курсора обычно соответствует верхнему левому углу шаблона графика, который представляет собой пустой прямоугольник с чёрными квадратиками мест ввода данных (рис.1.11). В них необходимо ввести выражения, которые будут играть роль зависимой и независимой переменных или быть векторами их численных значений. По умолчанию, Mathcad сам табулирует функцию и формирует два вектора значений одинаковой размерности (в среднем равной 50), по которым и строится график.
Рис. 1.11. Шаблон 2D графика в декартовой системе координат
В Mathcad графики строятся по точкам. Если на одном и том же шаблоне необходимо построить несколько функций, то по оси ординат их идентификаторы вводятся обязательно через запятую. В последних версиях появилась ещё вторая ось абсцисс, с помощью которой можно удвоить число кривых на графике.
Если график будет построен, то при его выделении дополнительно появляются в нижних уголках осей предельные значения абсцисс и ординат, задающих его масштаб и которые можно поменять при необходимости самим. После выделения, в контекстном меню графика можно вызвать окна его форматирования, трассировки, масштабирования и «третьего измерения».
Последнее даёт возможность наносить комментарий или рисунок поверх изображения На передний план или в фон На задний план. Их готовят или рисуют отдельно, а потом перетаскивают на график.
Рис. 1.11. Окно форматирования двухмерных графиков
В окне форматирования графика рекомендуется сделать Подписи к его титульному заголовку и осям координат, а в закладке Трассировка (рис.1.12) задать вид линии или символа (в случае точечного его отображения). Чтобы проверить результат форматирования графика, не закрывая диалоговое окно, - нужно задействовать клавишу Применить.
В статистике важным графическим результатом распределения выборки является построение гистограммы. Mathcad значительно облегчает её построение благодаря наличию специальной функции histogram (bin,Х), где bin задаёт число равных интервалов разбиения выборки Х.
Результатом работы этой функции будет матрица, в первом столбце которой содержатся значения середин сегментов разбиения, а во втором – число элементов выборки Х, попавших в каждый из интервалов, которое необходимо пронормировать относительно всего количества элементов (рис. 1.13):
Рис. 1.13. Построение гистограммы с использованием histogram.
Для решения систем уравнений в Mathcad используются так называемые блоки решений. Каждому такому блоку должно предшествовать задание начальных (стартовых) значений для искомых переменных. Начинается блок ключевым словом Given. Затем вводится собственно система уравнений. Завершается блок встроенной функцией find, аргументами которой являются переменные системы (допускается векторная форма записи этих переменных). Если система имеет несколько решений, то найденное функцией find решение определяется набором начальных значений переменных.