46

Глава 2 Системы линейных уравнений

Глава 2. Системы линейных уравнений

Решение многих экономических задач сводится к исследованию и решению систем линейных уравнений.

§2.1. Общие понятия системы линейных уравнений

_Cистема линейных уравнений с переменными имеет вид:

(1)

или в сокращенной записи

, .

Здесь роль переменных, подлежащих определению, играют величины , называемые неизвестными. Параметрами являются переменные и , которые могут принимать любые действительные значения. Все назы­ваются коэффициентами при переменных, все - свобод­ными членами уравнений.

Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает каждое уравнение в тождество. Линейная система уравнений называется совместной, если она имеет хо­тя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Системы уравнений удобно решать в матричной форме. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения. Введем обозначения:

; ; ,

где - матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы; - матрица-столбец неизвестных; - матрица-столбец свободных членов. Тогда система уравнений может быть представлена в матричном виде

или в компактной матричной форме

.

§2.2. Нахождение единственного решения системы

Метод обратной матрицы Метод с использованием расширенной матрицы Метод с использованием формул Крамера

Рассмотрим вначале частные случаи решения системы линейных уравнений. Пусть и .

Метод обратной матрицы

Решим матричное уравнение в случае и . Для матрицы существует обратная матрица . Умножим слева обе части матричного уравнения на .

или .

Уравнение в матричном виде решено. Для нахождения элементов матрицы неизвестных следует найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее на столбец свободных членов .

ПРИМЕР. Решить систему уравнений

(2)

Решение. Напишем систему в матричном виде

.

Матрица коэффициентов

не вырождена (ее определитель ). Поэтому, существует обратная матрица, которая легко может быть найдена одним из рассмотренных в главе 1 способов

.

Находим далее произведение

.

Матрица неизвестных равна

.

Ответ можно записать также в виде

Метод с использованием расширенной матрицы

Более эффективный способ решения системы из уравнений с неизвестными можно осуществить с помощью расширенной матрицы (см. замечание к разделу «Способ построения обратной матрицы», гл.1, § 1.5).

Составим расширенную матрицу

.

Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу к единичной. Тогда матрица обратится в матрицу

.

Расширенная матрица примет вид

.

Извлекая из расширенной матрицы матричное произведение и приравнивая его матрице неизвестных, получаем для неизвестных равенство

.

ПРИМЕР. Решить систему уравнений (2) с помощью расширенной матрицы.

Решение. Составим расширенную матрицу

.

Приведем вначале матрицу к треугольному виду:

.

Далее образуем треугольник нулей выше главной диагонали:

.

Наконец, получим единицы на главной диагонали:

.

Следовательно, .

Метод с использованием формул Крамера

Третий способ решения системы из уравнений с неизвестными в случае дает теорема швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752).

(о решении системы уравнений с помощью определителей)

Пусть у квадратной матрицы коэффициентов при неизвестных в системе из линейных уравнений с неизвестными определитель . Пусть - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда система имеет единственное решение, имеющее вид

.

◄Развернем матричное уравнение и запишем обратную матрицу через алгебраические дополнения:

.

Перемножив матрицы, получим

.

Сумма представляет собой произведение чисел на алгебраические дополнения элементов 1-го столбца. Она равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этого столбца на числа (свойство 9 определителей). Следовательно,

.

Аналогично сумма есть произведение чисел на алгебраические дополнения элементов 2-го столбца. Тогда

.

Продолжив вычисления, окончательно получим

.►

Способ решения системы линейных уравнений, основанный на формулах Крамера, получил название метода или правила Крамера.

ПРИМЕР. Решить систему уравнений (2) методом Крамера.

Решение. Условия, при которых правило Крамера работает ( ) выполнены. Воспользуемся формулами Крамера

; ; .

Замечание. Перечисленные методы решения систем линейных уравнений становятся трудоемкими при ручном счете уже при . Однако они удобны при решении задач на компьютере.

Рассмотренные методы являются решением систем частного вида, для которых выполняются условия . Перейдем к рассмотрению решения линейных систем общего вида. В дальнейшем будем оперировать понятиями матричной алгебры.