8

Глава 1 Матричная алгебра

Глава 1. Матричная алгебра

§1.1. Матрицы

Основные сведения о матрицах Виды матриц

Матричная алгебра играет большую роль в экономических расчетах. Многие экономико-мате­матические модели рассматриваются и решаются в матрич­ной форме.

Основные сведения о матрицах

Определение. Матрицей с размерами называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,..., а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где - номер строки, -номер столбца. Числа и определяют расположение элемента в матрице и играют роль координат этого элемента в прямоугольной таблице чисел.

Например, матрица

имеет строк и столбцов.

Набор

называется -й строкой матрицы , а набор

называется -м столбцом матрицы . Любые строки и столбцы матрицы , в свою очередь являются матрицами.

Две матрицы А и В одинаковых размеров называются равными, если они совпадают поэлементно. Равенство записывается как .

Виды матриц

Матрица произвольных размеров, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается .

Матрица, состоящая из одной строки , называется матрицей-строкой, или вектором.

Матрица, состоящая из одного столбца , называется матрицей-столбцом или также вектором.

Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .

Элементы квадратной матрицы , у которых номер строки совпадает с номером столбца, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы рав­ны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

-диагональная матрица третьего порядка.

Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается . Например, матрица

является единичной матрицей 4-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Произвольная матрица вида , составленная из двух матриц, разделенных вертикальной чертой, называется расширенной. Например, матрица

является расширенной. Она составлена из квадратной матрицы 3-го порядка и единичной матрицы 3-го порядка.

Матрица может содержать своими элементами другие матрицы. Например, матрица

может быть записана в виде , где - матрицы-строки исходной матрицы.

§1.2. Операции над матрицами

Умножение числа на матрицу Сложение матриц одинаковых размеров Вычитание матриц одинаковых размеров Умножение матрицы на матрицу Возведение матрицы в целую положительную степень Транспонирование матрицы Свойства транспонирования

Над матрицами возможно проведение некоторых арифметических операций.

1) Умножение числа на матрицу

( производится по следующему правилу: число умножается на каждый элемент матрицы ).

Произведением числа на матрицу называется матрица такая, что . Элементы матрицы вычисляются по формуле , где .

Замечание. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2) Сложение матриц одинаковых размеров

( соответствующие элементы матриц складываются ).

Суммой матриц и называется матрица такая, что . Элементы матрицы вычисляются по формуле , где .

3) Вычитание матриц одинаковых размеров

( соответствующие элементы матриц вычитаются ).

Разностью матриц и называется матрица такая, что . Элементы матрицы вычисляются по формуле , где .

4) Умножение матрицы на матрицу

( элемент новой матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы. Операция определена при условии, что число столбцов 1-й матрицы равно числу строк 2-й )

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что . Элементы матрицы вычисляются по формуле

. (1)

ПРИМЕР.

.

Замечание 1. Используя знак сокращенного суммирования, формулу (1) можно записать в виде

.

Замечание 2. Введем обозначение матрицы в виде , означающее, что матрица содержит строк и столбцов. Тогда произведение матриц можно записать следующим образом:

Замечание 3. Порядок матриц-сомножителей существен. Поэтому говорят об умножении матрицы на матрицу справа или слева.

Если произведение матриц существует, то произведение матриц может не существовать.

Если существуют произведения матриц и , они могут быть матрицами разных размеров.

Если матрицы и квадратные, то их произведения и существуют и имеют одинаковый порядок, но в общем случае .

Замечание 4. Умножение единичной матрицы на квадратную матрицу не изменяет последней: .

Замечание 5. Произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу , например

5) Возведение матрицы в целую положительную степень

Возведение матрицы в целую положительную степень сводится к произведению одинаковых матриц:

.

Дополнительно определим .

Замечание 1. Возведение в степень матрицы может привести к нулевой матрице. Например,

.

Замечание 2. Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц.

6) Транспонирование матрицы

( переход к матрице, у которой строки и столбцы меняются местами ).

Матрица

называется транспонированной по отношению к матрице

и обозначается .

Замечание. Из определения следует, что если матрица А имеет размеры , то транспонированная матрица имеет размеры .

Операции транспонирования, а также операции сложения и умножения матриц обладают легко проверяемыми свойствами.

Свойства транспонирования

1. 

2. , где - число.

3. 

4. 

Свойства операций сложения и умножения.

1. А+В=В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С)

3. (А+В)= А+ В

4. A(В+С)=AB+AC

5. (А+В)С= АС+ВС

6. С(АВ)= (СА)В

7.