1. Предмет и значение логики. Предмет логики: логика- это нормативная наука о формах и приемах интеллектуальной познавательной деятельности, осуществляемой с помощью языка. Значение логики: Роль логики в дискуссии, в процессе формирования убеждений очень велика. Она позволяет не только самому осуществлять подлинно доказательную аргументацию, избегая при этом логических ошибок, но и находить ошибки, уловки в аргументации оппонентов, отличать рациональное обоснование от чувственного.

2. Фрагмент естественного языка, изучаемый в логике высказываний. Высказывание-повествовательное предложение которое истинно или ложно (Москва- столица России).

Существуют повествовательные предложения которые нельзя охарактеризовать ни как истинные ни как ложные (бессмысленные). Например, квадратный круг.

Высказывания:

Простые: не являются сложными и не имеют ни один из сложных видов: идет дождь

Сложные:

А и В (где А и В- высказывания)

А или В

А ттт, когда В Если А, то В Неверно, что А

Грамматические и логические высказывания- это ни одно и то же

Есть такие простые высказывания, кто-е являются сложными повествовательными предложениями (с точки зрения грамматики- сложное, но логики- простое), например: Мэри отправляется к любимому молодому человеку в город, в котором он проживает.

Сложное высказывание, которое простое предложение с точки зрения грамматики: Дождь не идет.

3. Таблицы истинности значений. Интерпретация пропозициональных переменных. Нелогические символы формализованных языков, как уже говорилось, являются параметрами некоторых выражений естественного языка. В частности, пропозициональные переменные-параметры простых высказываний.

Процедура интерпретации нелогических символов состоит в приписывании им значений. Тип значения каждого такого символа должен быть тем же самым, что и у соответствующих выражений естественного языка (т.е. выражений, параметрами которых данные символы являются).

Существуют две допустимых интерпретации каждой отдельно взятой пропозициональной переменной:

1)интерпретация, сопоставляющая ей значение <<истина>>

2)интерпретация <<ложь>>. Табличные определения пропозициональных связок. Следующий этап построения логической теории состоит в придании точных значений логическим символом алфавита. Напомним, что в нашем формализованном языке исходными логическими символами являются пропозициональные связки (негация и т.п). Эти связки, как уже говорилось, можно рассматривать как знаки функций истинности-функций, аргументами и значениями которых являются "истина" и "ложь".

Придать значение пропозициональной связке ( в классической логике высказываний)-означает сопоставить ей определённую функцию истинности.

Алгоритм построения таблиц истинности:

1)Прежде всего выделяются все различные пропозициональные переменные, входящие в состав А;

2)В столбик выписываются все возможные наборы значений этих переменных;

3)В составе формулы А выделяются все подформулы (начиная от элементарных и кончая самой формулой А);

4)Вычисляется значение каждой подформулы при каждом наборе значений переменных.

4. Формальный язык логики высказываний. Его синтаксис и семантика. Определение формулы в ФЯЛВ

1.Всякая пропозициональная переменная является формулой.

2.Всякая пропозициональная формула является формулой в ФЯЛВ

3.Если А и В есть формулы в ФЯЛВ, то (негация А),(А дизъюнкция В) и т. д) являются формулам ФЯЛВ.

4.Ни что иное не является формулой ФЯЛВ.

Примеры формул в ФЯЛВ - ну тут, надеюсь, всё понятно.

Алфавит ФЯЛВ

Алфавит - совокупность исходных символов данного формализованного языка.

Формула - тип правильного построения выражения.

1.P1,P2,P3,...,Pn - есть

2.&,и т.д. - логические связки

3.Скобки ( - левая круговая, ) - правая круговая

Семантика - теория о том, что обозначают условные обозначения.

1.Пропозициональные переменные обозначают простые высказывания.

2.Ну тут что обозначают эти связки опять. & - и, и т.д.

3.Скобки соответствуют знакам препинания.

Примеры перевода. Тоже не могу сделать, так не знаю как формулы писать.

Функциональная семантика ФЯЛВ

И,Л - истинностные значения

{И,Л} - множество истинностных значений.

Пропозициональные переменные - это переменные, которые изменяются во множестве истинностных значений, то есть переменные, которые принимают только 2 значения - И,Л.

Логические связки - это функции определённого рода, а именно как функции, которые определяются следующей таблицей:

(x&y)

ИИИ

ИЛЛ

ЛЛИ

ЛЛЛ

Функцией из множества А во множество В называется любое соответствие при котором каждому элементу из А сопоставлен один единственный элемент из В.

5. Следования в логике высказываний. Логическое следование — это отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями. Логическое следование относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики, которую нередко характеризуют как науку о том, «что из чего следует».

Будучи исходным, понятие логического следования не допускает точного определения. В частности, описание его с помощью слов «видимо», «вытекает» и т.п. содержит неявный круг, поскольку последние являются синонимами слова «следует». Понятие следования обычно характеризуется путём указания его связей с другими логическими понятиями, и прежде всего с понятиями логического закона и модели.

Из высказывания А логически следует высказывание В, когда импликация «если А, то В» является частным случаем закона логики.

Например, из высказывания «Если натрий металл, он пластичен» логически вытекает высказывание «Если натрий не пластичен, он не металл», поскольку импликация, основанием которой является первое высказывание, а следствием второе, представляет собой частный случай логического закона контрапозиции.

Отличительной чертой логического следования является таким образом, то, что оно ведёт от истинных высказываний только к истинным. Предъявление к нему требования не позволять получать ложные заключения из истинных посылок объясняется теоретико-познавательными соображениями. Если бы выводы, относимые к обоснованным, давали возможность переходить от истины ко лжи, то установление между высказываниями отношения логического следования потеряло бы смысл, и логический вывод превратился бы из формы разворачивания и конкретизации знания в средство, стирающее грань между истиной и заблуждением.

6. Правильные и неправильные умозаключения в логике высказываний.

Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного и более суждений выводится новое суждение.

Правильное умозаключение называется правильным если в логике высказываний его заключение следует в логике высказываний из множества его посылок.

Неправильное умозаключение называется неправильным если в логике высказываний его заключение не следует в логике высказываний из множества его посылок.

7. Определение закона логики высказываний, примеры закона логики высказываний. Логический закон - это такая логическая формула высказывания, которая принимает значение "истина" при любой интерпретации параметров, входящих в её состав.

Закон в ФЛВ - формула в ФЯЛВ, которая принимает значение И при всякой оценке ФЯЛВ.

8. Связь правильных умозаключений с законами логики (на примере формальной логики высказываний). Умозаключением в логике высказываний называется последовательность высказываний, содержащая более одного члена, вместе с утверждением, что последнее из высказываний этой последовательности следует в логике высказываний из множества всех предшествующих ему высказываний в этой последовательности. Умозаключение является неправильным, если его заключение не следует в логике высказываний из множества его посылок. Умозаключение называется правильным, если его заключение следует в логике высказываний из множества всех его посылок.

9. Исходные понятия теории множеств. Множество- любая совокупность, группа, класс произвольных объектов. Множество обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Элемент множества- тот объект, из которого множество состоит. Принадлежность- отношение между элементом множества и самим множеством.

10. Отношения между множествами. Отношение включения. Множество А включается во множество В, если всякий элемент множества А является элементом множества В. (А В) Отношение равенства. Множество А= множеству В, если А В и В А. Они равны, когда состоят из одних и тех же элементов (множество всех мужчин= множество всех сыновей) Отношение совместимости. Множество А совместимо с множеством В, если существует такой элемент множества А, который является элементом множества В. (множество всех студентов совместимо с множеством всех Москвичей. Множество всех учителей совместимо с множеством всех блондинов). Отношение несовместимости. Множество А несовместимо с множеством В, если ни один элемент множества А не является элементом множества В. (множество родившихся в Москве и множество родившихся в Питере. Множество младенцев и множество студентов).

11. Специальные множества. Пустое множество. Множество называется пустым, когда ему не принадлежит ни один элемент. (Множество круглых квадратов, множество людей возрастом более 6000 лет). Пустое множество включается в любое множество. Доказательство. (1) Неверно, что пустое множество включается в любое множество (допущение). (2) Значит, существует такое множество, куда пустое множество не включается (из (1)). (3) Пустому множеству принадлежат такие элементы, которые не принадлежат множеству А. (По опред. включения и из (2)). (4) Значит, некоторые элементы принадлежат пустому множеству. (5) По определению пустого множество таких элементов быть не может. Противоречие. Значит, допущение неверно. Таким образом, пустое множество включается в любое множество. Пустое множество единственно: если А и В- пустые множества, то они равны. Доказательство. (1) А и В- пустые множества (допущение). (2) А В (из (1), так как А- пустое, оно включается в любое множество, в частности, в В). (3) В А (т.к В- пустое множество, оно включается в А). (4) А у нас определение, что А=В, когда А В и В А Значит, А=В ( из (2) и (3) по опред. равенства множеств). Семейство множеств. Множество называется семейством множеств, если всякий его элемент является множеством. Семейство множеств- множество, каждый элемент которого является множеством. Универсальное множество. Множество называется универсальным для данного семейства множеств, если в него включается всякое множество, принадлежащее данному семейству. Универсальное множество обозначается буквой U. Каждое семейство множеств имеет универсальное множество. Универсальное множество всех наций- человечество. Синглетоны. Синглетон- одноэлементное множество, т.е множество, которому принадлежит всего 1 элемент. Например, множество всех звезд нашей солнечной системы (в солнечной системе только 1 звезда- Солнце), множество всех президентов СССР (Горбачев только), множество всех столиц РФ (Москва). 12. Операции над множествами. Пересечение множеств. Пересечением множества А с множеством В называется множество, которому принадлежат все те и только те объекты, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Примеры:

Множества	Их пересечение
Множество всех студентов. Множество всех людей, проживающих в Москве.	Множество всех студентов, проживающих в Москве.
Множество всех мужчин. Множество всех сыновей.	Множество всех мужчин ИЛИ множество всех сыновей.
Множество всех мужчин. Множество всех отцов.	Множество всех отцов.
Множество всех людей, родившихся в Лондоне. Множество всех людей, родившихся в Париже.	Пустое множество.

Объединение множеств. Объединением множества А с множеством В называется множество, которому принадлежат все те и только те объекты, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств А или В.

Множество	Их объединение
Множество всех отрицательных целых чисел. Множество всех положительных целых чисел.	Множество всех целых чисел, исключая ноль.
Множество всех отрицательных целых чисел. Множество всех неотрицательных целых чисел.	Множество всех целых чисел.
Множество всех мужчин. Множество всех женщин.	Множество всех людей.
Множество всех англичан. Множество всех блондинов.	Множество всех людей, которые являются англичанами или блондинами.

Разность множеств. Операция вычитания множеств. Разность множества А с множеством В называется множество, которому принадлежат все те и только те элементы, каждый из которых принадлежит множеству А и не принадлежит множеству В.

Множества	А\В
Множество всех людей. Множество всех дочерей.	Множество всех сыновей.
Множество всех сыновей. Множество всех людей.	Пустое множество.
Множество всех англичан. Множество всех французов.	Множество всех англичан
Множество всех мужчин. Множество всех женщин.	Множество всех мужчин.

Дополнение до универсального множества. Дополнением множества А до универсального множества U называется разность U с А (U\A)

Множество А	Универсальное множество U	Дополнение к А до U.
Множество всех мужчин.	Множество всех людей.	Множество всех женщин.
Множество всех матерей.	Множество всех женщин.	Множество всех женщин, ни одна из которых не является матерью.
Множество всех хвойных лесов.	Множество всех лесов.	Множество всех не- хвойных лесов.
Множество всех мужчин.	Множество всех живых существ.	Множество всех живых существ, исключая мужчин.

О символическом изображении дополнения. Когда универсальное множество зафиксировано и единственно, дополнением до универсального множества обозначается Ᾱ.

13. Диаграммы Эйлера. Диаграммы Эйлера предназначены для того, чтобы: 1) Графически, наглядно иллюстрировать отношения между множествами 2) Графически, наглядно изображать результаты применения операций между множествами.

Отношение включения. Когда множество А включается в множество В. Отношение равенства. Множество А= множеству В, когда А В и В А. Отношение совместимости. Множество А совместимо с множеством В, если есть такой объект, который принадлежит множеству А и множеству В. Отношение несовместимости. Множество А несовместимо с множеством В, когда у них нет общих точек.

14. Определение понятий и примеры понятий. Понятие- мысль, посредством которой выделяется множество М объектов, на основе такого множества П (признак), что выполняется следующее условие: х М тогда и только тогда, когда х обладает всеми признаками из П. Понятие выражается с помощью существительных и описаний. Основные логические характеристики понятия- объем и содержание понятия. Объем понятия- множество всех тех объектов, которые выделяются посредством данного понятия. Содержанием понятия называется множество всех тех признаков, на основе которых выделяется объем понятия. Отношения между объемами понятий. Поскольку объемы понятий являются множествами, то отношения между ними те же, что между множествами. Отношения между содержаниями понятий. Поскольку содержания понятий являются множествами, то и отношения между ними являются множествами.