18

CAPM + портфельный анализ

Это задача 2 в программе для тренинга. На что надо обращать внимание при решении на экзамене?

1. Хотя у нас три наблюдения, но при расчете дисперсий и ковариации для получения несмещенных оценок делим на n – 1, то есть на 2.

2. В знаменателе при расчете коэффициента бэта стоит дисперсия для компаний всего рынка.

3. Опять внимательно читаем условие — вдруг потребуется рассчитать показатели не для одного портфеля, а для нескольких.

4. Проверка ускорится, если решение будет представлено в табличном виде:

T	Rm	Rs	Rm-Rms	Rs-Rss		Rm2		Rs2		Cov
1	10	12	-2	-2		4		4		4
2	12	14	0	0		0		0		0
3	14	16	2	2		4		4		4
Сумма	36	42				8		8		8
Rs-Среднее	12	14		σ2		4		4		4
					σ		2		2
CAPM	Rs=	10	+	1,00		(Rm –		10		)
		Rf		бэта
Ws	Wm	Rпорт	σ2порт
0,2	0,8	12,4	4
0,5	0,5	13	4
0,8	0,2	13,6	4

Применение биномиальной модели для хеджирования при помощи опционов

Типовая формулировка задачи. Рассчитайте по биномиальной модели для опциона колл и периода времени один год параметры безрисковой стратегии. Безрисковая ставка процента для данного периода r = 0,25. Начальная цена акции S=50 де, цена исполнения опциона К = 50 де. Коэффициент роста цены акции u=2, коэффициент уменьшения цены акции d=1/u. Найдите:

1) число проданных опционов продавцом;

2) число купленных акций;

3) размер займа в начале периода;

4) коэффициент хеджирования;

5) справедливые премии опционов колл и пут;

6) размер займа в банке;

7) вероятности роста и уменьшения цены акции.

При этом составьте балансы денежных средств на начало и на конец периода для вариантов роста и уменьшения цены акции.

Заметим, что в качестве базового актива рассматриваются акции, по которым дивиденды не выплачиваются.

Иллюстративное решение. Рассматриваем сопоставимые денежные измерители (долл., рубли), которые в примере для удобства записи будут опускаться.

1. Вводится R  r + 1 = 0,25 + 1 = 1,25.

2. Ститаем d=1/u = ½ = 0,5.

3. Проверяем выполнение неравентва d < R < u: 0,5 < 1,25 < 2.

4. Определяем цену акции в конце года при росте: S_T = uS = 2  50 = 100.

5. Определяем цену акции в конце года при падении: S_T = dS = 0,5  50 = 25.

6. Определяем соответвующие оценки опциона колл в конце года:

C_u = max (0, uS – K) = max (0, 100 – 50) = 50;

C_d = max (0, dS – K) = max (0, 25 – 50) = 0.

7. Находим коэффициент хеджирования:  = (C_u – C_d )/[S(u – d)] =(50 – 0)/50/(2 – 0,5) =1/1,5 = 2/3= 0,667. Можно пока не округлять.

8. Вычисляем вероятности роста и падения цены акции: q  (R – d)/(u – d) = (1,25 –0,5)/ (2 – 0,5)= 0,75/1,5 = 0,5; 1 – q = 0,5.

9. Находим цену (премию) опциона колл: С = [qC_u + (1 – q)C_d]/R = [0,5 * 50 + 0,5 * 0]/ 1,25 = 25/1,25 = 20.

10. Вычисляем трубуемую сумму кредита в расчете на один проданный опцион колл по одной из формул: B = ( dC_u – uC_d )/[R(u – d)] = (0,550 – 20)/1,25/(2 – 0,5) =13,33; С =  S – B отсюда B =  S –C.

11. Вычисляем справедливую цену опциона пут по теореме паритета колл–пут:

P = C + K/R – S = 20 + 50/ 1,25 – 50 = 10.

12. Из определения коэффициента хеджирования как  = b/a, где a — число проданных опционом колл по текущей цене C, b — число купленных акций по цене S разумно округляя находим, что a = 3, b = 2.

13. Проверяем балансовое соотношение в начале периода: aС – bS + D = 3  20 – 2  50 + 40 = 0. В текущий момент времени продать 3 опциона колл за C = 20 долл. каждый (итого 60), купить 2 акции по 50 долл., для чего занять D = 40 долл. под 25% на рассматриваемый период с условием возврата 50 долл. в конце периода.

14. Проверяем балансовое соотношение в конце года при падении цены акции:

– a  C_d + b  dS – DR = –30 + 225 – 401,25 = 50 – 50 = 0.

15. Проверяем балансовое соотношение в конце года при падении цены акции:

– a  C_u + b uS – DR = –350 + 2100 – 401,25 = 0.

16. Убеждаемся, что, поскольку отклонения от 0 невелики (это является проверкой правильности решения), с удовлетворением переводим дух и беремся за решение более простых задач. Для облегчения проверки обводим кружком найденные значения , C и P.

Как вывели формулы.

В начале периода цена актива S = 50. В конце периода цена акции может увеличиться с темпом роста u = 2 и вероятностью q и составит S_T = uS = 2  50 = 100. С вероятностью 1 – q цена акции уменьщится с темпом роста d = 0,5 и составит S_T = dS = 0,5  50 = 25. При этом должно выполняться неравенство

Принципиально важной предпосылкой в моделях опционного ценообразования является отсутствие возможностей для безрискового прибыльного арбитража. В примере Кокса, Росса и Рубинштейна это достигается, если в текущий момент времени продать 3 опциона колл за C = 20 долл. каждый (итого 60), купить 2 акции по 50 долл., для чего занять D = 40 долл. под 25% на рассматриваемый период с условием возврата 50 долл. в конце периода:

aС – bS + D = 3  20 – 2  50 + 40 = 0,

где a — число проданных опционом колл по текущей цене C, b — число купленных акций по цене S. Приведенное равенство не изменится, если мы обе его части разделим на a и проведем замену переменных сдедующим образом:

С – (b/a) S + D/a = С –  S + B = 20 – (2/3) 50 + (40/3) = 0,

где  — коэффициент хеджирования, который показывает, сколько акций надо купить на каждый проданный опцион, B — сумма займа, которая необходими для создания безрискового (или полностью захеджированного) портфеля, в который входит только один опцион.

В конце периода при росте цены актива будем иметь следующие формулы для исчисления цен (стоимости) опционов колл и пут:

C_u = max (0, uS – K) = max (0, 100 – 50) = 50;

P_u = max (0, K – uS ) = max (0, 50 – 100) = 0;

а при уменьшении цены актива:

C_d = max (0, dS – K) = max (0, 25 – 50) = 0;

P_d = max (0, K – dS ) = max (0, 50 – 25) = 25.

Рассмотрим сначала операции и денежные потоки с позиции продавца опционных контрактов.

При уменьшении цены до 25 долл. покупатели опциона колл не будет его исполнять, то есть покупать акции по 50 долл., когда на рынке их можно купить в два раза дешевле. В этом случае владелец портфеля (продавец опционов) продает 2 акции по 25 долл., получает 50 долл., которые направляет на погашение задолженности по ссуде. В итоге баланс поступлений и платежей на конец периода будет равен 0:

– a  C_d + b  dS – DR = 00 + 225 – 401,25 = 50 – 50 = 0.

Последнее соотношение можно записать и таким образом:

 dS – RB = C_d = (2/3) 25 – 1,25 (40/3) = 16,67 – 16,67 = 0.

При увеличении цены акции до 100 долл., покупатели трех опционов колл их исполнят, то есть приобретут 3 акции по цене исполнения K = 50.

Две акции у продавца опционов уже есть, поэтому он их сразу продает и получит за них 100 долл. За эти 100 долл. он приобретет по рыночной цене 100 долл. одну акцию, которую продаст покупателю опциона по цене 50 долл. Полученные 50 долл. продавец опционов направит на погашение задолженности по ссуде в сумме 50 долл. В итоге баланс поступлений и платежей на конец периода также будет равен 0:

– a  C_u + b uS – DR = –350 + 2100 – 401,25 = 0.

Последнее соотношение можно записать и таким образом:

 uS – RB = C_u = (2/3) 100 – 1,25 (40/3) = 66,67 – 16,67 = 50. (2.3)

Из уравнений (2.1)—(2.3) легко найти:

 = (C_u – C_d )/[S(u – d)] =(50 – 0)/50/(2 – 0,5) =1/1,5 = 2/3.

B = ( dC_u – uC_d )/[R(u – d)] = (0,550 – 20)/1,25/(2 – 0,5) =13,33.

RB = 13,33 1,25 = 16,67.

С =  S – B = (2/3) 50 – 13,33 = 33,33 – 13,33 = 20.

С =  S – B = + = [qC_u + (1 – q)C_d]/R,

где q  (R – d)/(u – d), 1 – q  (u – R)/(u – d). В рассматриваемом примере q = 1 – q = 0,5, С = 20.

А вот как выглядит положение дел с точки зрения покупателя опционов при условии, что не он продает акции и предоставляет займ. Поскольку в начале периода он заплатил продавцу опцинов 60 долл. за три контракта, то он лишился возможности получить 75 долл. в конце периода, если бы вместо покупки опционов 60 долл. были помещены в банк под 25%. В случае падения цен на акции потери покупателя опционов, приведенные к концу периода, составят 75 долл. В случае роста цены акции покупатель опционов в конце периода получит 3 акции, заплатив за них по ценам исполнения 150 долл. Продав их на рынке по 100 долл. за акцию, он получит 300 долл. За вычетом приведенных опционных премий (75 долл.) и платежей за акции в сумме 150 долл. его доход составит 75 долл., что в точности равно сумме потерь при падении цены акции.

Для лучшего уяснения операций можно рекомендовать построить схемы движения ценных бумаг и соответсвующих сумм денежных средств между покупателями и продавцами интрументов с указанием изменения остатков на активных и пассивных счетах и построением балансов для начала и конца периода.

Формулы для исчисления премий и показателей , D и B для опциона пут очень похожи на только что рассмотренные и выводятся аналогичным образом:

 = – (P_u – P_d )/[S(u – d)] =(25 – 0)/50/(2 – 0,5) =1/1,5 = 1/3.

a = 3, b = 1.

B = (uP_d – dP_u )/[R(u – d)] = (225 – 0,50)/1,25/(2 – 0,5) =26,67.

D = 80.

P = –  S + B = – 1/3  50 + 26,67 = – 16,67 + 26,67 = 10.

Таким образом, для создания безрискового портфеля можно взять взаймы 80 долл. под 25% на период, и купить одну акцию за 50 долл. и 3 опциона пут по цене 10 долл. каждый. Если цена пойдет вверх, то по истечении периода продаем акцию за 100 долл. и погашаем долг с процентами в сумме 100 долл. Если цена пойдет вниз, то сначала реализуем один опцион пут и продаем имеющуюся в наличии акцию по цене исполнения, то есть за 50 долл. На полученные 50 долл. покупаем на рынке 2 акции по цене 25 долл. за акцию и сразу же исполняем два оставшихся оциона пут: продаем 2 акции по цене 50 долл. В результате получаем 100 долл., которые направляем на погашение ссуды с процентами. И снова наш баланс будет равен нулю, что говорит о полной хеджируемости нашего портфеля.

Нетрудно видеть, что в нашем примере получилось следующее соотношение между премиями C и P:

C + K/R = P + S = 20 + 50/ 1,25 = 20 + 40  10 + 50.

Это равенство называется пут-колл паритетом (put-call parity). Концепцию пут-колл паритета, первоначально известную под названием конверсии, впервые предложил крупный американским железнодорожный спекулянт Рассел Сейдж (Russel Sage). В общем случае учитывается непрерывное наращение процентов: