8.4. Геометрический смысл точечной эластичности (пример для линейной функции)
Тем, кому удобнее анализировать функции, используя их геометрический смысл, можно предложить еще один способ толкования значения точечной эластичности.
Пусть линейная функция имеет вид y = kx + b. Наклон данной функции постоянен, угловой коэффициент равен k.
Рассмотрим значение точечной эластичности y по x в точке C.
.
Отношение
показывает,
на сколько единиц (в
абсолютном выражении)
изменяется y
при изменении x
на одну единицу.
Легко докажем, что это отношение равно угловому коэффициенту k нашей функции. Пусть y = 10x + 5. Тогда рассмотрим пары значений x и y:
То
есть при каждом изменении
Следовательно,
отношение
В
то же время отношение
Тогда эластичность y по x равна |
|
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
значение y
изменяется на
единиц.
,
где
– угол наклона графика функции к оси
аргумента. В любой точке нашей функции
этот наклон постоянен, следовательно
равно тангенсу угла OCxC
или угла COyC.
(8.6)8.5. Вычисление точечной эластичности через отношение отрезков (в точке c)
Теперь мы знаем, что .
Угол
(ÐCAD)
равен углу
(ÐOAB,
как вертикальные) и равен углу
(ÐFCB,
как соответственные), CD
= OF.
Тогда тангенс угла можно записать через следующие отношения:
Угол
(ÐOCD)
равен углу
(ÐCOF,
как внутренние накрест лежащие).
Тангенс угла можно записать следующим образом:
Произведение
можно записать следующим образом:
или
Сократив дроби, получим следующие формулы для вычисления эластичности y по x:
(8.7)
(8.8)
Кроме того, из
подобия треугольников BFC и BOA следует,
что
Следовательно,
(8.9)
! |
Обратите внимание!
|
ЗАДАЧА 7 |
Решение задач. Определение функции спроса. При цене (Р) 10 тыс. руб. за единицу величина спроса на товар равна нулю. При величине спроса (Q) 10 ед. ценовая эластичность спроса на товар равна - 1. Как выглядит функция спроса на данный товар при условии, что функция спроса - линейна. Пожалуйста, подтвердите ответ вычислениями.
|
ЗАДАЧА 8 |
Решение задач. Определение линейной функции спроса при помощи анализа эластичности. Функция спроса на товар линейна. Известно, что при Q = 25 точечная эластичность спроса по цене равна -1. Определите уравнение функции спроса, если известно, что увеличение объёма выпуска на единицу приводит к падению цены на две денежные единицы. Пожалуйста, подтвердите ответ вычислениями.
|
ЗАДАЧА 9 |
Решение задач. Определение эластичности спроса при сдвиге функции спроса. Кривая спроса сдвинулась параллельно вниз вдоль оси цен на 8 единиц, где одна единица равна одному рублю, если цены измеряются в рублях. Абсолютное значение ценовой эластичности первоначальной кривой спроса в точке, где цена была равна 12, составляло единицу. Определите абсолютное значение ценовой эластичности кривой спроса, полученной в результате вышеописанного сдвига в точке, где цена равна 4. Пожалуйста, подтвердите ответ графиком и вычислениями. |
ЗАДАЧА 10 |
Решение задач. Определение эластичности рыночного спроса. На рынке товара X только две группы потребителей, их функции спроса имеют вид Q1 = 20-Р и Q2 = 40-3P, соответственно. Определите эластичность рыночного спроса по цене в точке, где объем рыночного спроса равен 20. Пожалуйста, подтвердите ответ вычислениями.
|
ЗАДАЧА 11 |
Решение задач. Определение эластичности рыночного спроса. На рынке товара X только две группы потребителей, их функции спроса имеют вид Q = 12 – P и Q=13 – 2P, соответственно. Определите эластичность рыночного спроса по цене в точке, где объем рыночного спроса равен 4. Пожалуйста, подтвердите ответ вычислениями. |