- •1.Плоскость
- •1.4.Основные сведения из теории
- •Решение типовых задач
- •2. Прямая в пространстве
- •2.1. Основные сведения из теории
- •2.2. Решение типовых задач
- •3. Плоскость и прямая в пространстве
- •3.1. Основные сведения из теории
- •3.2. Решение типовых задач
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •1.2. Решение типовых задач 4
- •2.2. Решение типовых задач 14
- •3.2. Решение типовых задач 21
3. Плоскость и прямая в пространстве
3.1. Основные сведения из теории
Пусть прямая задана каноническими уравнениями
: ,
а плоскость – общим уравнением
: .
1. Угол между прямой и плоскостью равен углу между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости и вычисляется по формуле
. (3.1)
2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид
.
Оно равносильно условию ортогональности векторов и
3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид
.
Оно равносильно условию коллинеарности векторов и .
4. Условие принадлежности прямой плоскости записывается в виде
(3.2)
где координаты точки , принадлежащей прямой.
3.2. Решение типовых задач
Задача 3.1. Найти острый угол между прямой и плоскостью .
Решение. Направляющий вектор прямой равен . Нормальный вектор плоскости равен . По формуле (3.1)
, .
Ответ:
Задача 3.2. При каком значении прямая : параллельна плоскости : ?
Решение. Согласно условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальный вектор первой плоскости равен , нормальный вектор второй плоскости равен . Направляющий вектор прямой равен (см. формулу (2.6)):
.
Условие параллельности прямой и плоскости это условие ортогональности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости , т. е. . Умножая, получаем
.
Таким образом, уравнение плоскости будет .
Ответ:
Задача 3.3. При каких значениях и прямая лежит в плоскости ?
Решение. Прямая будет параллельна плоскости, если ее направляющий вектор будет ортогонален нормальному вектору плоскости , т. е. . Запишем это условие:
Прямая будет принадлежать плоскости, если координаты точки , через которую проходит прямая, удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда получаем, что
При решении задачи мы воспользовались формулой (3.2).
Ответ:
Задача 3.4. Найти точку пересечения прямой : и плоскости :
Решение. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде
Подставляя выражения для в уравнение плоскости , получим
Теперь следует подставить значение параметра в параметрические уравнения прямой . Находим .
Ответ:
Полезная формула. Если прямая пересекается с плоскостью , то точке пересечения отвечает значение параметра
. (3.3)
Задача 3.5. Найти уравнение плоскости , проходящей через прямую : перпендикулярно плоскости :
Р ешение. Плоскость имеет два направляющих вектора и и проходит через точку (рис. 3.1). Согласно формуле (1.9) ее уравнение будет иметь вид
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
З адача 3.6. Известны координаты вершин тетраэдра: Найти уравнение и длину его высоты .
Р
: .
Высоту можно найти по формуле (1.5), определяющей расстояние от точки до грани : .
.
(Напомним, что – это коэффициенты в общем уравнении плоскости , и они равны , , , .)
Ответ: : ; .
Задача 3.7. Даны прямые : и : . Найти уравнение плоскости проходящей через прямую параллельно прямой
Решение. Векторы и являются направляющими векторами плоскости (рис. 3.3). Точка принадлежит плоскости . Решаем задачу, используя формулу (1.9):
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Задача 3.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку .
Решение. Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор равен . Произвольная точка будет принадлежать искомой плоскости , если векторы и компланарны: (рис. 3.4), т. е.
.
Это и есть уравнение плоскости . Подставляем координаты:
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку , не лежащую на этой прямой, имеет вид
(3.4)
Задача 3.9. Доказать, что прямые
: :
лежат в одной плоскости и найти уравнение этой плоскости.
Р ешение. Первая прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Вторая прямая проходит через точку и ее направляющим вектором является . Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны: (рис. 3.5), т. е.
.
Подставим заданные координаты:
.
Это означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Векторы и не коллинеарны. Следовательно, эти прямые пересекаются.
Найдем уравнение плоскости , в которой лежат прямые и . Очевидн о, что произвольная точка будет принадлежать плоскости, если векторы , , компланарны: (рис. 3.6), т. е.
.
Это и есть уравнение искомой плоскости. Подставляем координаты и вычисляем определитель разложением по элементам первой строки. Получаем
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Полезные формулы. Две прямые
: :
лежат в одной плоскости, если
. (3.5)
Если прямые пересекаются, то уравнением этой плоскости будет
. (3.6)
Замечание. Прямые скрещиваются (т. е. не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда и равенство (3.5) несправедливо.
З адача 3.10. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:
: : .
Р
.
Подставляя заданные координаты, находим уравнение плоскости
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ( , )
: : ,
имеет вид
. (3.7)
Замечание. В задачах 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 без труда можно указать два направляющих вектора искомых плоскостей. Поэтому решение этих задач аналогично решению задачи 1.2. Если эти направляющие векторы явно не обозначены в ходе решения, то найдите их самостоятельно. Подумайте, что общего в формулах (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7).