- •1.Плоскость
- •1.4.Основные сведения из теории
- •Решение типовых задач
- •2. Прямая в пространстве
- •2.1. Основные сведения из теории
- •2.2. Решение типовых задач
- •3. Плоскость и прямая в пространстве
- •3.1. Основные сведения из теории
- •3.2. Решение типовых задач
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •1.2. Решение типовых задач 4
- •2.2. Решение типовых задач 14
- •3.2. Решение типовых задач 21
2. Прямая в пространстве
2.1. Основные сведения из теории
Прямая в пространстве может быть задана уравнением одного из следующих видов.
Общие уравнения прямой:
(2.1)
где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам . Это равносильно заданию прямой как линии пересечения двух плоскостей.
Параметрические уравнения прямой:
(2.2)
Здесь – координаты какой-либо точки принадлежащей прямой – координаты вектора , параллельного прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Переменная – параметр,
Канонические уравнения прямой:
(2.3)
4. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и :
(2.4)
Кроме того, при решении задач будут использоваться следующие формулы, доказательство которых можно найти в теоретическом курсе.
Угол между двумя прямыми
;
равен углу между направляющими векторами и :
(2.5)
Прямые и параллельны тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны ( ):
.
Прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны ( ):
2.2. Решение типовых задач
Задача 2.1. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей:
Решение. Прямая задана общими уравнениями (2.1). Найдем какую-нибудь точку на прямой. Выберем, например, . Другие координаты получим из системы уравнений Очевидно, что . Следовательно, . Затем находим направляющий вектор прямой. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то вектор ортогонален нормальным векторам этих плоскостей, т. е. (рис. 2.1). Поэтому за направляющий вектор можно принять
.
Подставляя координаты направляющего вектора и точки в уравнения прямой (2.3), получим
.
Ответ: .
Полезная формула. Если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:
то ее направляющий вектор можно выбрать в виде
. (2.6)
Задача 2.2. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку и параллельной вектору .
Решение. Известны точка и направляющий вектор прямой.
Согласно формуле (2.2) параметрические уравнения прямой имеют вид
Канонические уравнения получаем, используя формулу (2.3):
.
Ответ: .
Задача 2.3. Найти направляющий вектор прямой :
Р ешение. Прямая проходит через точку (2, 4) на плоскости и параллельна оси (рис. 2.2). Очевидно, что ее направляющий вектор можно выбрать в виде (0, 0, 1).
Ответ: (0, 0, 1).
.
Задача 2.5. Найти косинус острого угла между прямыми
: ; : .
Решение. Из уравнений прямых вытекает, что направляющий вектор прямой равен , направляющий вектор прямой равен . Для удобства вычислений направляющий вектор прямой выберем в виде . Он коллинеарен исходному. Используя формулу (2.5), получаем
Ответ:
Задача 2.6. Показать, что прямая перпендикулярна прямой
Решение. Направляющий вектор первой прямой, очевидно, равен , направляющий вектор второй прямой найдем с помощью формулы (2.6):
.
Вычислим скалярное произведение векторов и
Ответ: прямые перпендикулярны.
Задача 2.7. Проверить, лежат ли три данные точки , и на одной прямой.
Решение. Напишем уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и , согласно формуле (2.4). Получим
.
П роверим, удовлетворяют ли координаты точки этим уравнениям. После подстановки получаем: Следовательно, точка не лежит на прямой.
Ответ: не лежат.
Задача 2.8. Найти канонические уравнения прямых , проходящих через точку параллельно: 1) оси ; 2) оси ; 3) оси .
Решение. Найдем уравнения прямой , проходящей через точку параллельно оси . Ее направляющий вектор можно выбрать в виде (рис. 2.3).
Используя формулу (2.3), получим
: .
Таким же образом находим и .
: , ;
: , .
Ответ: : ; : ; : .
Задача 2.9. Найти точки пересечения прямой : с плоскостями координат.
Решение. Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью , в канонических уравнениях прямой следует положить . Получим , откуда , . Таким образом, прямая пересекает плоскость в точке . Аналогично находим точки пересечения с плоскостями и .
Ответ: ; ; .
З адача 2.10. Известны координаты вершин тетраэдра: . Составить канонические уравнения его ребер и найти их длины.
Решение. Условие такое же, как и в задаче 1.10 (рис. 2.4). Найдем уравнения ребра . Для этого подставим координаты вершин и в формулу (2.4). Получим . Теперь можно определить длину ребра :
.
Уравнения и длины остальных ребер найдите самостоятельно.
Ответ: 1) : , ;
2) : , ;
3) : , ;
4) : , ;
5) : , ;
6) : , .
Задача 2.11. Найти точку пересечения двух прямых
: : .
Решение. Перепишем уравнения прямых в параметрическом виде
: :
Для нахождения точки пересечения этих прямых нужно решить систему уравнений:
Очевидно, она имеет единственное решение Подставляя значение параметра в параметрические уравнения прямой (или в уравнения прямой ), получим
Ответ: .