- •Предельные теоремы в схеме испытаний Бернулли.
- •Решение.
- •1. Построение ряда распределения и функции распределения случайной величины X.
- •Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •1. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •Нормрасп(X;среднее;стандартное_откл;интегральная).
- •Решение.
- •Решение.
- •Предельные теоремы в схеме испытаний Бернулли.
Предельные теоремы в схеме Бернулли.
1. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
При большом числе испытаний в схеме испытаний Бернулли вычисления вероятностей по формуле Бернулли становится затруднительными.
Попробуйте , например, вычислить
Если n – число испытаний велико, применяются приближенные формулы.
,
где n – число испытаний;
p – вероятность успеха;
q – вероятность неудачи, q = 1 – p .
Значение функции определяются по таблице, приложение №1, контент, тема 12 (Статистические таблицы).
Функция четная, .
- функция плотности стандартного нормального распределения с математическим ожиданием m = 0 и средним квадратическим отклонением σ = 1.
В Excel эту функцию можно найти в библиотеке функций:
Нормрасп(X;среднее;стандартное_откл;интегральная).
= НОРМРАСП(x;0;1;0)
Искомую вероятность можно вычислить, воспользовавшись функцией НОРМРАСП.
, где
Таким образом, Excel позволяет вычислить эту вероятность, не прибегая к таблицам.
Кроме того искомую вероятность в схеме испытаний Бернулли можно получить при сколь угодно большом числе испытаний n непосредственно по формуле Бернулли.
Задание 2. Пусть вероятность появления события A при одном испытании равна p = 0,37. Найти вероятность того, что при n = 100 испытаниях событие A появится m = 35 раз.
Решение.
a. Сначала выполните задание, используя таблицу функции плотности стандартного нормального распределения (Приложение 1, контент, тема 12).
1. ;
2. ,
- по таблице;
3.
Здесь значение функции
выбрано из
таблицы приложения 1, контент, тема 12.
Результаты вычислений приведены на рис. 13.
Рис. 13. Исходные данные n = 100, m = 35, p = 0,37, результаты вычисления x и результаты вычисления вероятности
b. Значение функции может быть найдено в Excel с помощью функции НОРМРАСП(x;0;1;0).
Рис. 14. Диалоговое окно функции НОРМРАСП с заполненными полями ввода данных.
Рис. 15. В ячейке F39 результаты вычисления функции НОРМРАСП(x:0:1;0), значение x = – 0,41425 вводится в формулу с помощью ссылки на ячейку E37.
В ячейку G39 вводится формула как показано далее на рис. 16.
Рис. 16. Строка формул с введенной формулой . Результат вычисления находится в ячейке G39.
c. Использование функции Excel БИНОМРАСП при большом числе испытаний n позволяет обойтись без приближенных формул Муавра-Лапласа и таблиц.
Скопируйте исходные данные задания 2 в ячейки A43 – D43.
В ячейку с именем БИНОМРАСП поместите формулу БИНОМРАСП(x;n;p;0), где
x – число успехов (m);
n – число испытаний;
p – вероятность успеха;
0 или 1 – логическая переменная (0 позволяет вывести вероятность ровно x = m успехов)
Формула БИНОМРАСП выбирается в категории Статистические.
Рис. 17. Диалоговое окно функции БИНОМРАСП с заполненными полями ввода
Рис. 18. Вычисление вероятности события в схеме испытаний Бернулли с использованием формулы БИНОМРАСП
2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли заключено между m1 и m2 (при )
,
где , .
Неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Для его вычисления используются таблицы функций Лапласа
.
Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле
Приближенными формулами Лапласа пользуются в случае, если . Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.
Задание 3. Пусть вероятность появления события A при одном испытании равна p = 0,37. Найти вероятность того, что при n = 100 испытаниях событие A появится от m1 = 30 до m2 = 45 раз.
Решение.
a. Сначала выполните задание, используя таблицу функции Лапласа.
1.
2.
Значения функций Лапласа выбираются из таблицы ЭУМК, контент, тема 12, приложение 2.
Введите исходные данные задания n = 100 , p = 0,37, q, m1 = 30, m2 = 45 и выполните вычисления , как показано на рис. 19.
Рис. 19. Исходные данные с вычисленными значениями x2 и x1
По вычисленным значениям x2 и x1 найдите в таблице – контент, тема 12, приложение 2 значения функций Лапласа и . Внесите их в ячейки F55 и G55 как показано на рис. 20. В ячейке F57 вычислите вероятность
Рис. 20. В ячейке F57 показан результат вычисления вероятности , полученный с использованием таблиц функции Лапласа
b. Вычисление вероятности в Excel выполняется с использованием функции НОРМРАСП, что позволяет обойтись без таблиц функции Лапласа.
Функции Лапласа связана с функцией НОРМРАСП следующим соотношением
Поместите в ячейку F59 формулу , где , вычисленная ранее и находящаяся в ячейке F53, как показано на рис. 21.
В ячейку G59 поместите формулу , в ячейке G53 находится
В ячейку F60 поместите конечную формулу вычисления вероятности
Рис. 21. В ячейке F60 показан результат вычисления вероятности , полученный с использованием функцией НОРМРАСП
с. Этот же результат можно получить, используя функцию БИНОМРАСП, как показано на рис. 22.
Рис. 22. В ячейке F62 показан результат вычисления вероятности , полученный с использованием функции
БИНОМРАСП(x2; n; p;1) – БИНОМРАСП(x1; n; p;1)
Сравните все полученные результаты и сделайте выводы.
3. Предельная теорема Пуассона
Предельная теорема Пуассона позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет равно m , при
, где .
Задание 4. Найти вероятность того, что в 500 испытаниях успех появится 5 раз, если вероятность успеха в одном испытании p равна 0,025.