11.6. Истечение газа из резервуара через сужающееся сопло. Формула сен-венана-ванцеля

Рассмотрим истечение газа из резервуара через сужающееся сопло (рис. 11.3). Размеры резервуара будем считать настолько большими по сравнению с размером отверстия, что скорость жидкости в резервуаре можно считать равной нулю. Если конфигурация сопла выбрана надлежащим образом, то распределение скоростей на срезе сопла будет практически равномерным. Обозначим через ₀, р_0, Т₀ значения параметров газа внутри резервуара; они, очевидно, будут являться параметрами торможения. Давление во внешней среде и на срезе сопла обозна­чим через р₁, параметры газа в сечении 1-1 через u₁, ₁, T₁, площадь выходного отверстия сопла через S.

или

Рис. 11.3. Схема для вывода формул истечения газа через сужающееся сопло

Решим уравнение Бернулли

относительно скорости истечения u₁:

Предполагая истечение адиабатным, используем соотношение

Тогда получим

(11.47)

или, с учетом выражений (11.23) и (11.27),

Последние формулы являются видоизменениями формулы Сен-Венана — Ванцеля * для скорости истечения газа. Определим массовый расход газа через сопло

Для краткости введем обозначение = р₁/р₀ и перепишем эту формулу в виде

(11.48)

__________________________

* Адемар Жан-Клод Барре де Сен-Венан (1797—1886) — выдающийся французский ученый в области механики и инженер, член Парижской академии наук. Работы Сен-Венана по гидромеханике посвящены сопротивлениям течению в трубах и каналах, гравитационным волнам, установившемуся и неустановив­шемуся движениям в открытых руслах, истечениям газов, общим уравнениям вязкой жидкости.

Очевидно, при постоянных ₀ и р₀ массовый расход изменяется так же, как функция f (). Эта функция обращается в нуль при  = 0 и  = 1, а следовательно, имеет экстремум между этими точками. Найдем значение _ называемое критическим, при котором f '() = 0.

После обычных преобразований получим

(11.49)

В частном случае, при k = 1,4 в = 0,528. Нетрудно убе­диться, что найденная экстремальная точка есть точка максимума, Поэтому максимальное или критическое значение массового рас­хода

(11.50)

Удобно ввести в рассмотрение приведенный расход q, понимая под ним отношение произвольного расхода к его критическому значению QS. Из формул (11.48) и (11.50) находим

(11.51)

где А = const.

Используя формулу (11.38), выразим приведенный расход через приведенную скорость:

(11.52)

Зависимость q () приведенного расхода от отношения давлений  = р₁/р₀ будет, очевидно, качественно такой же, как и зависи­мость f() (рис. 11.4). Однако на участке 0 <  < _, эта зависимость физически не реальна, так как она дает уменьшение расхода при уменьшении внешнего давления p_i. Действительно, опыт по­казывает, что реальная зависимость q () приблизительно следует теоретической только в диапазоне _    1, а при  < _, массовый расход остается постоянным, равным Q^_м (q = 1).

На рис. 11.4 физически реальная кривая q () показана сплошной линией. Чтобы выяснить причину такого характера этой кривой, установим, какая скорость истечения газа достигается на срезе сопла при максимальном расходе. Подставляя выраже­ние для _ из формулы (11.49) в правую часть уравнения (11.47), находим u₁ = а_, т. е. скорость истечения при максимальном расходе равна звуковой. Этим и обусловлен указанный выше характер зависимости q (в). При уменьшении давления p₁ в диапа­зоне _ <  < 1, расход, естественно, возрастает. При этом всякое малое изменение внешнего давления, распространяясь со звуковой

Рис. 11.4. Зависимость приведенного расхода газа через сопло от отношения давлений

скоростью, проникает внутрь сопла и обусловливает соответствующей изменение перепада давлений, под действием которого движутся частицы газа. По достижении значения u₁ = а_ на срезе сопла образуется так называемый звуковой барьер, через который не могут проникнуть изменения внешнего давления, так как частицы газа летят с той же скоростью, с какой вверх по течению распространяется малая волна понижения давления. В связи с этим при  < _, давление на срезе сопла остается постоянным, равным критическому давлению р_ чем и обусловливается постоянство массового расхода. Из изложенного следует, что с помощью сужающегося сопла нельзя достичь сверхзвуковой скорости истечения никаким изменением внешнего давления, но этого можно достичь применением сопла Лаваля.

Описанный теоретический характер изменения расхода достаточно хорошо подтверждается опытным путем при равномерном распределении скоростей на срезе. Последнее может быть обеспечено плавным очертанием профиля сопла, рассчитанным по специальным формулам [8].

Истечение газа через отверстие с острыми кромками заметно отличается от истечения через сопло и требует специального рассмотрения.