Тренировочный вариант кр по вычматам фпфэ 2010/2011

ВНИМАНИЕ!!! Контрольный вопрос (КВ) по теории оценивается либо 0, либо 1 баллом, и это является множителем к сумме баллов за все остальные задачи.

1.* Теоретическая задача.

2. a) Для функции, заданной таблично, (в предположении непрерывности и ограниченности всех необходимых производных) найти значение первой производной в указанной точке с максимально возможной точностью.

	x	x1=0.	x2=1.	x3=3.	x4=5.	x5=7.
	f(x)	1.	1.25	2.5	3.	5.

b)* Предложить и осуществить второй способ решения задачи.

(Ответ. )

3. Методом обратной интерполяции найти корень нелинейного уравнения с точностью 10^-3, используя приведенные таблицы:

	x	x1=0.5	x2=0.6	x3=0.8	x4=1.
	f(x)	–0.148	–0.055	0.193	0.523

(Ответ. x=0.651.)

3. Методом простой итерации найти ширину функции на полувысоте с точностью 10^-3:

(Ответ: )

5. Для нахождения положительного корня нелинейного уравнения предложено несколько вариантов МПИ. Исследовать эти методы и сделать выводы о целесообразности использования каждого из них.

6. Для системы нелинейных уравнений указать начальное приближение и описать метод Ньютона для нахождения решения, оценить количество необходимых итераций для достижения точности 10^-8.

7. а) Для функции, заданной таблично, вычислить значение определенного интеграла методом трапеций, сделать уточнение результата по правилу Рунге. Сравнить уточненный результат с вычислениями по методу Симпсона.

x	x1=0.	x2=0.125	x3=0.25	x4=0.375	x5=0.5	x6=0.625	x7=0.75	x8=0.875	x9=1.
f(x)	1.000000	0.984615	0.941176	0.876712	0.800000	0.719101	0.640000	0.566372	0.500000

б)* Как можно уточнить полученный резльтат?

(Ответ. I_h=0.784747, I_2h=0.782794, I_R=0.785398, I_S=0.785398)

8. Предложите метод вычисления несобственного интеграла: a) , b) с точностью 10^-4.

9*. Для нахождения минимума функции сделать один шаг модифицированного метода Брендта от заданного начального приближения.

	x	x1=6.	x2=7.	x3=8.	x4=9.
	f(x)	2.60185	0.20480	0.50488	3.50078.

Ответ. x₅=7.38888, x₆=7.38752, y₅=4.197e-8, y₆=3.193e-6. В следующем приближении остаются точки 2-6-5-3., т.е.

	x	x1=7.	x2=7.38752	x3=7.38888	x4=8.
	f(x)	0.20480	3.193e-6	4.197e-8	0.50488

9*. Оцените минимальное число узлов, необходимых для вычисления интеграла с точностью ε=10^-2 по методам трапеций, Симпсона и квадратур Гаусса. Вычислите интеграл с заданной точностью любым из этих методов.

(Ответ: , Точный ответ )

10.* Функция f(x) задана таблицей своих значений в узлах интерполяции

x0=0.	x1=1.	x2=2.	x3=3.	x4=4.
1.00000	0.86603	0.50000	0.00000	-0.50000

а) Построить кубический сплайн для этой функции, предполагая, что сплайн имеет нулевую кривизну при x=x₀ и x=x₄. Вычислить приближенное значение функции в точке x*=1.5.

б) Предложить способ вычисления интеграла от быстро осциллирующей функции

11*. Покажите, что квадратурная формула Гаусса точна на многочленах шестой степени.