Задание.
Найти положение точки экстремума и экстремальное значение функции F(x) на интервале [a,b]. Длинна конечного интервала неопределенности недолжна превышать 0.01.
F(x)=x^4/4-x^3+10 экстремум-min
A=2,3
B=3,3
Выполнение работы.
Метод золотого сечения.
Первый шаг:
a=2.3, b=3,3, b-a=1
x1=2,3+0,382*1=2,682
x2=3,3-0,382*1=2,918
f(x1)=(2,682)^4/4-(2,682)^3+10=3,6433
f(x2)=(2,918)^4/4-(2,918)^3+10=3,2791
F(x1)>F(x2). Новый отрезок [2,682,3,3]
Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы.
n |
a |
b |
b-a |
x1 |
x2 |
f(x1) |
f(x2) |
1 |
2,3 |
3,3 |
1 |
2,682 |
2,918 |
3,6433 |
3,279167 |
2 |
2,682 |
3,3 |
0,618 |
2,918076 |
3,063924 |
3,279114 |
3,268915 |
3 |
2,918076 |
3,3 |
0,381924 |
3,063971 |
3,154105 |
3,268943 |
3,364328 |
4 |
2,918076 |
3,154105 |
0,236029 |
3,008239 |
3,063942 |
3,250307 |
3,268926 |
5 |
2,918076 |
3,063942 |
0,145866 |
2,973797 |
3,008221 |
3,253054 |
3,250305 |
6 |
2,973797 |
3,063942 |
0,090145 |
3,008232 |
3,029506 |
3,250306 |
3,253969 |
7 |
2,973797 |
3,029506 |
0,05571 |
2,995078 |
3,008225 |
3,250109 |
3,250306 |
8 |
2,973797 |
3,008225 |
0,034429 |
2,986949 |
2,995074 |
3,250762 |
3,250109 |
9 |
2,986949 |
3,008225 |
0,021277 |
2,995076 |
3,000098 |
3,250109 |
3,25 |
10 |
2,995076 |
3,008225 |
0,013149 |
3,000099 |
3,003202 |
3,25 |
3,250046 |
11 |
2,995076 |
3,003202 |
0,008126 |
2,99818 |
3,000098 |
3,250015 |
3,25 |
|
|
Середина |
2,999139 |
|
|
|
|
|
|
F(xc)= |
3,250003 |
|
|
|
|
Вывод: после 11 шагов интервал равен [2,995,3,003], его длина 0,0081<0,01. В качестве точки минимума может быть взята середина этого интервала 2,999139; при этом f(2,999139)=3,250003.
Метод Фибоначчи.
Найдем N:
N=(b-a)/e=(3,3-2,3)/0,01=100
89<100<144
F10 F11
S=11
L=(b-a)/F11=(3,3-2,3)/144=0,006944
Первый шаг:
X1=a+l*F9=2,3+0,006994*55=2,681944;
X2=b-l*F9=3,3-0,006994*55=2,918056;
F(x1)=( 2,681944)^4/4-(2,681944)^3+10=3,643427;
F(x2) =( 2,918056)^4/4-(2,918056)^3+10=3,279128;
F(x2)<F(x1). Новый отрезок [2,681944;3,3].
Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы
I |
Fi |
n |
a |
b |
b-a |
x1 |
x2 |
f(x1) |
f(x2) |
0 |
1 |
1 |
2,3 |
3,3 |
1 |
2,681944 |
2,918056 |
3,643427 |
3,279128 |
1 |
1 |
2 |
2,681944 |
3,3 |
0,618056 |
2,918056 |
3,063889 |
3,279128 |
3,268894 |
2 |
2 |
3 |
2,681944 |
3,063889 |
0,381944 |
2,827778 |
2,918056 |
3,373476 |
3,279128 |
3 |
3 |
4 |
2,681944 |
2,918056 |
0,236111 |
2,681944 |
2,827778 |
3,643427 |
3,373476 |
4 |
5 |
5 |
2,681944 |
2,827778 |
0,145833 |
2,7375 |
2,772222 |
3,525089 |
3,46051 |
5 |
8 |
6 |
2,681944 |
2,772222 |
0,090278 |
2,716667 |
2,7375 |
3,56737 |
3,525089 |
6 |
13 |
7 |
2,681944 |
2,7375 |
0,055556 |
2,702778 |
2,716667 |
3,596972 |
3,56737 |
7 |
21 |
8 |
2,681944 |
2,716667 |
0,034722 |
2,695833 |
2,702778 |
3,612187 |
3,596972 |
8 |
34 |
9 |
2,681944 |
2,702778 |
0,020833 |
2,681944 |
2,702778 |
3,643427 |
3,596972 |
9 |
55 |
10 |
2,681944 |
2,702778 |
0,020833 |
2,681944 |
2,702778 |
3,643427 |
3,596972 |
10 |
89 |
11 |
2,681944 |
2,702778 |
0,020833 |
2,681944 |
2,702778 |
3,643427 |
3,596972 |
11 |
144 |
12 |
2,681944 |
2,702778 |
0,020833 |
2,681944 |
2,702778 |
3,643427 |
3,596972 |
12 |
233 |
13 |
2,681944 |
2,702778 |
0,020833 |
2,681944 |
2,702778 |
3,643427 |
3,596972 |
13 |
377 |
14 |
2,681944 |
2,702778 |
0,020833 |
2,681944 |
2,702778 |
3,643427 |
3,596972 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Середина |
2,692361 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(Xc)= |
3,619896 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N= |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L= |
0,006944 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: конечный интервал неопределенности равен (2,681944; 2,702778), его длинна 0,020833. В качестве приближенного значения точки минимума выберем середину этого отрезка 2,692361; F(2.692361)= 3,619896.
Вывод: в данной работе мы находили положение точки экстремума и экстремальное значение функции F(x)=x^4/4-x^3+10 на интервале (2.3;3.3), двумя методами:
Метод золотого сечения
Метод Фибоначчи.
В методе золотого сечения длинна конечного интервала неопределенности не превысила 0.01 а в методе Фибоначчи превысила что говорит что лучше использовать первый метод.