Системы линейных уравнений

2.1. Основные понятия

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

(2.1)

x₁, x₂,…., x_n – неизвестные (переменные) системы, числа а_ij, i=1,…,m; j=1,…,n – коэффициенты при неизвестных (переменных), b_1, b₂,…,b_m – свободные члены.

Если все свободные члены b_j равны нулю, то система (2.1) называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Возможны следующие случаи m > n, m = n, m < n.

Решением системы называется упорядоченный набор из n чисел (α_1, α_2,… α_n) такой, что каждое из уравнений системы (2.1) обращается в верное числовое равенство после подстановки вместо неизвестных x₁, x₂,….,x_n чисел α_1, α_2,… α_n соответственно.

Если система (2.1) имеет, по крайней мере, одно решение, то она называется совместной. Если система (2.1) не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если имеет множество решений.

2.2. Методы решения систем n линейных уравнений c n переменными

Рассмотрим частный случай системы (1), когда m = n, т. е. систему

(2.3),

в которой определитель основной матрицы-системы

= ≠0.

2.2.1. Формулы Крамера

Если ≠ 0, то единственное решение системы (2.3) вычисляется по следующим формулам:

(2.4),

где определители _j получаются из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы (2.4) получили название формул Крамера.

При решении системы (2.3) по формулам Крамера возможны три случая:

1. ≠ 0, то системы (2.3) имеет единственное решение, которое находится по формулам (2.4);

2. = 0, а хотя бы один из определителей _j ≠ 0, то система (2.3) решений не имеет (является несовместной);

3. = 0 и _j = 0, то система (2.3) является неопределенной или не имеет решений.

Пример 2.3. Найти решение системы по формулам Крамера

Ответ: единственное решение:

ЗАНЯТИЕ 1.

Тема: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Задание: Решить системы линейных уравнений методом Крамера.

Пример 1.

Решение: 1. Вычислим определители системы и неизвестных , _х и _у.

2. Найдем решение системы по формулам Крамера:

х₀ ; у₀ =

Проверка: (верно).

Ответ: (х₀= -36, у₀= -22) –координаты точки пересечения прямых.

Пример 2.

Решение: 1. Вычислим определители системы и неизвестных , _х и _у.

Ответ: т.к. = 0, то система имеет вид: . Система имеет бесконечное множество решений, она совместна, но не определена. Прямые совпадают друг с другом.

Пример 3.

Решение: 1. Вычислим определители системы и неизвестных , _х, _у и _z.

а) методом разложения по 1-ой строке:

б) методом диагоналей:

2. Найдем решение системы по формулам Крамера:

х₀ ; у₀ = z₀ =

Проверка:  (верно).

Ответ: (х₀=0,у₀= -1, z₀=2) – координаты точки пересечения плоскостей.

Пример 4.

Решение: 1. Вычислим определители системы и неизвестных , _х, _у и _z.